2022-2023学年宁夏回族自治区银川一中高三上学期第四次月考数学（理）试题（word版）
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理 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若全集，集合，，
则图中阴影部分表示的集合为
A. B.
C. D.
2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．等比数列中，a2 =4 , a4=16, 则a2 与a4的等比中项为
A．8 B． C． D．
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A.充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
6．图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
7．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为
A． B． C． D．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，AD是∠A的角平分线，，，
则的最小值是
A．6 B． C． D．10
10．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，
是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的
一条直径，且．，是圆上的任意两点，，
点在线段上，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知，，，，则
A．或 B． C． D.
12．设，则
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．函数在处的切线与直线平行，则实数 ．
14．已知向量，满足，且，则向量，
的夹角为 ．
15．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原
来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，
则的取值范围是________.
16．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，若球O
的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为______.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. （本小题12分）
己知数列的前项和为，且，__________________请在，，成等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
求数列的通项公式
若bn=an1求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. （本小题12分）
如图1是半圆（以为直径）与Rt△ABC组合成的平面图，其中，图2是将半圆沿着直径折起得到的，且半圆所在平面与Rt△ABC所在平面垂直，点是的中点．
(1)求证：；
(2)若，求二面角E-BC-D的平面角的正切值．
19. （本小题12分）
如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边
互相垂直的十字形，其中．
（1）将十字形的面积表示成的函数；
（2）求当为何值时有十字形面积的最大值，并求出最大值．
20. （本小题12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，
，Q为AD的中点，.
(1)点M在线段PC上，，
求证：平面MQB；
(2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的大小.
21. （本小题12分）
已知函数（）
(1)当时，有两个实根，求取值范围；
(2)若方程有两个实根，且，证明：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．
23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
已知均为正数，且，证明：
(1)若，则;
(2)．
2022-2023学年高三上学期第四次月考
数学(理科)（参考答案）
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | B | C | B | A | C | A | B | C | D | C | B |
二、填空题
- 1 14. 15. [2，） 16.
三、解答题
- 解：因为，
- 所以，即，
- 所以数列是首项为，公差为的等差数列． …… …… 2分
- 选：
- 由，得，
- 即，
- 所以，解得． …… …… 4分
- 所以，
- 即数列的通项公式为． …… …… 6分
选：
由，，成等比数列，
得，
则，
所以， …… …… 4分
所以． …… …… 6分
选：
因为，
所以，
所以， …… …… 4分
所以． …… …… 6分
(2) 由题可知bn=an-1=n，则， …… …… 8分
(3) 则，①
(4) ，②
(5) 由①-②得 …… …… 10分
， …… …… 12分
18.解：（1）是半圆的直径，
， …… …… 2分
，即，
又平面平面，且平面平面平面，
平面，又平面，
…… …… 4分
又，平面，平面，
平面，又平面，
∴ ； …… …… 6分
（2）∵ AB为直径且点是的中点
∴
又
∴
又 平面与ABE⊥平面ABC且平面与ABE∩平面ABC=AB
∴ DE⊥平面ABC …… …… 8分
则过点E做BC的垂线交BC于点H，连接DH，
得∠DHE为二面角E-BC-D的平面角 …… …… 10分
又因在Rt DH= DE=
∴ tan∠DHE= = 2
即：二面角E-BC-D的平面角的正切值为 2. …… …… 12分
19. 解：（1）设十字形面积为，
如图所示：
所以，
…… …… 6分
（2），
（设且），
当，即时，最大．
即当时，十字形取得最大面积， …… …… 12分
20.解：（1）证明：连接AC交BQ于N﹐连接MN， (1分)
因为，所以， (2分)
所以，所以，又， (4分)
所以，因为平面MQB，平面MQB，
所以平面MQB； (5分)
（2）连接BD，由题意都是等边三角形，
因为Q是AD中点，所以，又，
平面PQB，所以平面PQB，，
在中，，所以，
所以平面ABCD，
以点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，(6分)
则，
由，可得，
所以.
设平面MOB的法向量，. (8分)
可取，则， (9分)
直线PD的方向向量， (10分)
设直线PD和平面MQB所成角为，则
即直线PD和平面MQB所成角的大小为. (12分)
21.解:（1）的定义域为，，
在上单调递增，所以的取值范围是. (4分)
（2）的定义域为，
有两个不相等的实数根，
令，由（1）知在上递增，则，
则有两个不相等的零点，， (6分)
，.
要证，只需证，即证，
即证， (8分)
，
故只需证，
不妨设，令，
则只需证，
只需证，
令，
，
所以，
即当时，成立.
所以，即，所以. (12分)
22.【答案】(1)，；(2).
（1）由（t为参数），
可得l的普通方程为；…………………………2分
由曲线C的极坐标方程及
可得，
整理得，………………………………5分
所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）易知点M在直线 l 上，
将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，
即，………………………………7分
设P，Q对应的参数分别为，则，………………9分
因为，
所以．…………10分
23.解：因为且，，均为正数，所以…………1分
则，……………………4分
则当且仅当时等号成立，………………………………5分
故，
因为，由柯西不等式得
…………………………………8分
故当且仅当且时等号成立
即当且仅当，，时成立则． ……………10分
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