2022-2023学年山东省济南市高三上学期期末考试模拟试题（二）数学（word版）

山东省济南市高三期末考试模拟数学试题二

2022.12.17

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，则（    ）.

A． B．

C． D．

3．下列结论正确的是（    ）

A．在中，“是钝角”是“是钝角三角形”的必要不充分条件

B．“,关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题

C．“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题

D．若是真命题，则可能是真命题

4．篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的篮球赛中，休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有种出场阵容的选择.

A．16 B．28 C．84 D．96

5．如图，在四边形中，已知， ，则的最小值为

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值. 记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记为服用第种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则中最小的，中最大的分别是

A． B． C． D．

7．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.以F为圆心，OF为半径作圆F，圆F与C的渐近线交于异于O的A，B两点.若|AB||OF|，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

8．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

二、多选题

9．2020年突如其来的新冠肺炎疫情让民众更加重视身体健康，为促进学生增强体质，某学校对高一、高二年级在某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如图：下列说法正确的是（    ）

A．高二年级该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30

B．高一年级该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72

C．高一年级该周每天的人均体育锻炼时间的极差比高二年级的小

D．高一年级该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比高二年级的大

10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．由可得是的整数倍

B．函数为偶函数

C．函数在上为减函数

D．函数在区间上有20个零点

11．正方体的棱长为4，点，分别为棱，上的动点，且满足，则以下命题正确的有（    ）

A．三角形的面积始终保持不变 B．直线始终在平面内

C．三棱锥的体积始终不变 D．直线可能与平面垂直

12．数列首项，对一切正整数，都有，则（   ）

A．对一切正整数都有 B．数列单调递减

C．存在正整数，使得 D．都是数列的项

三、填空题

13．已知，则___________.

14．已知，，则________．

15．函数在上的最小值和最大值之和为________

16．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______

四、解答题

17．已知的三个内角，，的对边长分别为，，，

（Ⅰ）若，请判断三角形的形状；

（Ⅱ）若，，求的边的大小．

18．已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

19．在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，，，是以BC为斜边的等腰直角三角形．

(1)证明：平面PCD；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

20．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办数学趣味知识竞赛活动，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在，分别获二等奖和一等奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图．

（1）填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，通过分层抽样的方法从这些获奖人中随机抽取4人，再从这4人中任意选取2人，求2人均获二等奖的概率．

临界值表：

参考格式：，其中．

21．已知椭：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段的垂直平分线的方程；

（3）求三角形的面积.（为坐标原点）

22．已知函数存在唯一的极值点为．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，证明：．

山东省济南市高三期末考试模拟数学试题二

2022.12.17

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

2．已知为虚数单位，则（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

3．下列结论正确的是（    ）

A．在中，“是钝角”是“是钝角三角形”的必要不充分条件

B．“,关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题

C．“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题

D．若是真命题，则可能是真命题

【答案】B

4．篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的篮球赛中，休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有种出场阵容的选择.

A．16 B．28 C．84 D．96

【答案】B

5．如图，在四边形中，已知， ，则的最小值为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

6．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值. 记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记为服用第种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则中最小的，中最大的分别是

A． B． C． D．

【答案】B

7．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.以F为圆心，OF为半径作圆F，圆F与C的渐近线交于异于O的A，B两点.若|AB||OF|，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

8．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】A

二、多选题

9．2020年突如其来的新冠肺炎疫情让民众更加重视身体健康，为促进学生增强体质，某学校对高一、高二年级在某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如图：下列说法正确的是（    ）

A．高二年级该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30

B．高一年级该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72

C．高一年级该周每天的人均体育锻炼时间的极差比高二年级的小

D．高一年级该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比高二年级的大

【答案】AC

10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．由可得是的整数倍

B．函数为偶函数

C．函数在上为减函数

D．函数在区间上有20个零点

【答案】BCD

11．正方体的棱长为4，点，分别为棱，上的动点，且满足，则以下命题正确的有（    ）

A．三角形的面积始终保持不变 B．直线始终在平面内

C．三棱锥的体积始终不变 D．直线可能与平面垂直

【答案】BC

12．数列首项，对一切正整数，都有，则（   ）

A．对一切正整数都有 B．数列单调递减

C．存在正整数，使得 D．都是数列的项

【答案】ABD

三、填空题

13．已知，则___________.

【答案】

14．已知，，则________．

【答案】．

15．函数在上的最小值和最大值之和为________

【答案】

16．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______

【答案】         

四、解答题

17．已知的三个内角，，的对边长分别为，，，

（Ⅰ）若，请判断三角形的形状；

（Ⅱ）若，，求的边的大小．

【答案】（Ⅰ）等边三角形；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）由余弦定理和已知条件可求得.从而可判断出 三角形的形状.

（Ⅱ）由同角三角函数的关系求得，再根据，求得，由正弦定理可求得.

【详解】解：（Ⅰ）由，，

得，即：.又，  

∴ 三角形是等边三角形.

（Ⅱ）由，，得，

又，∴ ，

由正弦定理得．

18．已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【详解】

试题分析：（1）利用得到，整理的为等比数列，求出通项公式；（2），利用错位相减法求和．

试题解析：

（1）∵  ①，  ②

②-①得，即，∴数列是以为首项，为公比的等比数列

∴

（2）由，∴，∴ ③，左右两边乘于2得  ④，③-④得

．∴

19．在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，，，是以BC为斜边的等腰直角三角形．

(1)证明：平面PCD；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取为的中点，连接、，先证、，然后再证明，从而证明平面，找到，再根据，即可证明平面PCD.

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，然后计算平面、平面的法向量，通过计算两个法向量夹角的余弦值来确定二面角的平面角的余弦值.

(1)证明：

设点为的中点，连接、，

因为是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以，

因为，所以，因为，，所以,

在中，，可知，且,

又因为，且，所以四边形为平行四边形，

所以，

在中，，所以，即，

又因为，，平面，所以平面，

因为平面，所以，又因为，，平面，

所以平面PCD.

(2)

以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示，空间直角坐标系，

由题意得：，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，得

，不妨设，则，

同理可得平面的一个法向量为，

所以.

由图可知，所求的二面角平面角为钝角，

所以二面角的平面角的余弦值为.

20．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办数学趣味知识竞赛活动，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在，分别获二等奖和一等奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图．

（1）填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，通过分层抽样的方法从这些获奖人中随机抽取4人，再从这4人中任意选取2人，求2人均获二等奖的概率．

临界值表：

参考格式：，其中．

【答案】（1）列联表见解析，有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；（2）．

【分析】（1）根据频率分布直方图计算获奖人数，并由数据分析，补全列联表,根据公式计算，并确定是否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；

（2）先计算抽取的一、二等奖的人数，并列出从这4人中随机抽取2人的所有基本事件和2人均是二等奖的基本事件，再用古典概型的概率计算公式求得概率.

【详解】（1）补全列联表如下表．

．

所以有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．

（2）由已知可得，分数在获二等奖的参赛学生中抽取3人，

分数在获一等奖的参赛学生中抽取1人．

记二等奖的3人分别为a，b，c，一等奖的1人为A，

事件E为“从这4人中抽取2人且这2人均是二等奖”．

从这4人中随机抽取2人的基本事件为，，，，

，，，共6种，

其中2人均是二等奖的情况有，，共3种，

由古典概型的概率计算公式得．

故2人均获二等奖的概率为．

【点睛】本题考查独立性检验，古典概型的概率公式的应用，还考查数据分析，计算能力，属于中档题.

21．已知椭：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段的垂直平分线的方程；

（3）求三角形的面积.（为坐标原点）

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由条件得到，求椭圆方程；

（2）直线的方程是，与椭圆方程联立求线段的中点，写出垂直平分线方程；

（3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可计算出三角形的面积.

【详解】（1）由题意可知，， ，，

椭圆的方程是；

（2）椭圆的左焦点 ,直线的方程是 ，

与椭圆方程联立，得，

，，

代入直线的方程得，线段的中点是，

并且线段的垂直平分线的斜率是-1，

线段的垂直平分线的方程是，即；

（3）由（2）可知， ，

，

原点到直线的距离，.

22．已知函数存在唯一的极值点为．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）求得导数，令，分、和三种情况讨论，结合单调性和极值点概念，即可求解.

（2）由（1）得到，，进而得到，，两式相加化简变形，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数，可得的定义域为，且，

令，

①若，可得，所以在上单调递增，不合题意；

②若，可得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

可得，

（ⅰ）若，即时，，即，

所以在上单调递增，不合题意；

（ⅱ）若，即时，，，

因为，则，

所以在上有两个变号零点，所以有两个极值点，不合题意；

③若，，则在上单调递减，

且，，存在唯一，使，

当时，，，

当时，，，所以是的唯一极值点，符合题意；

综上，实数的取值范围是．

（2）由（1）可知，，

因为，，所以，，，

由（1）可知函数在上单调递减，

所以，，

即，，

现证明不等式：，其中

要证，即证，

即证，即证，易知成立．

所以，

即，即，

所以，证毕．