2023届福建省永泰县第二中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2023届福建省永泰县第二中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．全集，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】化简集合A，根据集合的补集、并集运算即可.

【详解】全集，或，，

所以，所以，

故选：A．

2．若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系可得，化弦为切结合已知即可得解.

【详解】解：

.

故选：D.

3．已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C． D．

【答案】C

【分析】根据求出点，再代入直线方程得到，最后利用基本不等式里“1”的妙用求最值.

【详解】函数过定点，所以，

将代入直线，得，即，

因为，，

所以，

当且仅当，即，时“=”成立.

故选：C.

4．函数图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，得到函数为奇函数，排除A，再根据函数的零点个数排除D选项，根据在y轴左侧附近时，排除C，选出正确答案.

【详解】由于，

∵，

∴是奇函数，图像关于原点对称，排除A，

令，得，

∴，，

∴，，

∴函数有无数个零点，排除D.

当，，排除C.

故选：B.

5．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出.

【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，

又为偶函数，所以有：，

所以，有，即

所以，故以为周期，

故．

因为当时，，

所以.

故选：B

6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的.设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由偶函数性质变形，然后由对数换底公式、对数函数性质比较，大小，再由指数函数性质结合中间1比较与前面对数的大小后，再由函数单调性得结论．

【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，所以，所以，

故选：B．

7．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数和，利用导数求解单调性，即可判断.

【详解】当时，记，则 ，故在单调递增，故，因此得当时， ，故，即；

，设，则，因为，

当时，．所以在上单调递增，所以，即，所以．

故选：A

二、多选题

8．若函数在区间上单调，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】方法一：首先求得，由在上单调可构造不等式组，结合可确定所有可能的取值，由此可得的范围，进而确定选项；

方法二：利用诱导公式可化简得到，得到，根据，可确定，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定选项.

【详解】方法一：当时，，

在区间上单调，

或，

或；

由得：；又，；，

又，，，又，；

由得：；又，，，

又，，，即；

综上所述：.

方法二：，

当时，；

在上单调，，；

由，知：或，解得：或，

.

故选：AC.

9．函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A．该函数的解析式为

B．该函数图象的对称中心为，

C．该函数的单调递增区间是，

D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

【答案】ACD

【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.

【详解】由题图可知，，周期，

所以，则，

因为当时，，即，

所以，，即，，

又，故，从而，故A正确；

令，，得，，故B错误；

令，，

得，，故C正确；

函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，

可得到，故D正确．

故选：ACD.

10．已知函数，若，则（    ）

A．为偶函数 B．在上为增函数

C． D．

【答案】AC

【分析】对A，根据偶函数的定义判断即可；对B，求导分析函数的单调性即可；对C，根据函数的单调性与奇偶性判断即可；对D，根据不一定成立判断即可.

【详解】对A，因为，所以为偶函数，故A正确；

对B，，当时，，所以，当时，，所以，所以在上单调递增，因为为偶函数，所以在上为减函数，故B错误；

因为，所以，又因为在上递增，所以，即，故C正确；

显然不一定成立，则不成立，故D错误.

故选：AC

11．已知函数的定义域为，且．若的图象关于点对称，，则（    ）

A． B．的图象关于直线对称

C． D．

【答案】BC

【分析】根据对称性得到，再结合题意得到，即可判断B，再在令，即可判断A，结合前面的条件可以得到，即可判断C，最后根据周期性判断D；

【详解】解：因为的图象关于点对称，所以，又，所以，

所以关于直线对称，故B正确；

因为，，所以，故A错误；

由，所以，又，且，

所以，故C正确；

，故D错误；

故选：BC

三、填空题

12．幂函数在上单调递减，则的值为______．

【答案】2

【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.

【详解】解：因为函数是幂函数，

则有，解得或，

当时，函数在上单调递增，不符合题意，

当时，函数在上单调递减，符合题意.

所以的值为

故答案为：

13．已知，的最小值为____________.

【答案】

【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由，则，

当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．

故答案为：

14．已知 ，则________.

【答案】

【分析】先找到与的关系，再利用诱导公式与倍角公式求解即可.

【详解】因为，所以.

故答案为：.

15．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】利用奇函数的性质得到，再根据不等式构造函数，分析函数在时的单调性，根据单调性、奇偶性和解不等式即可.

【详解】因为为奇函数，定义域为，所以，，

又因为时，，所以，

构造函数，所以，

所以当时，，在上单调递增，

又因为，所以，在上大于零，在上小于零，

又因为，所以当时，在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以当时，在上小于零，在上大于零，

综上所述：的解集为.

故答案为：.

【点睛】常见的函数构造形式：

①，；

②，.

四、解答题

16．已知函数在处取得最值，其中．

(1)求函数的最小正周期；

(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题设条件运用三角变换公式及周期公式求解；

（2）转化为在上有解，再求正弦型三角函数的值域即可得解.

【详解】（1）

，

因为在处取得最值，

所以，即，

因为，所以当k＝0时，，

则，所以．

（2）将函数的图象向左平移个单位，

得，

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，

得，

因为当时，，

所以，，

因为方程在上有解，所以在上有解，

所以，

即实数的取值范围为．

17．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)当时，求函数的最值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用导数即可求解斜率,根据点斜式即可求解切线方程,

（2）利用导数确定单调区间，进而可得最值.

【详解】（1）由，得，

所以，.

所以曲线在处的切线方程为，即.

（2）令，则，因此 ，

由于，故，

故函数在上递增，在上递减，

故

18．密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状､大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙､不重叠地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形（图2）中，，，.

(1)若，，求平面凹四边形的面积；

(2)若，求平面凹四边形的面积的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理可得，然后利用余弦定理，同角关系式及三角形面积公式即得；

（2）利用余弦定理及基本不等式可得，进而可得平面凹四边形面积的最小值.

【详解】（1）如图，连接，

在中，，，，

由余弦定理，得，，

在中，，，，

，

∴，

∴，又，

∴；

（2）由（1）知，，

中，，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，

∴，

∴，

∴当且仅当时，平面凹四边形面积取得最小值.

19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.

(1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?

【答案】(1)，候车厅候车人数为4200人

(2)时，需要提供的矿泉水瓶数最少

【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案；

（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案.

【详解】（1）当时，设，，则，

.

，

故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.

（2），

①当时，，当且仅当时等号成立；

②当时，；

又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.

20．已知，R．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．

【答案】(1)分类讨论见解析

(2)2

【分析】（1）求导，分，两种情况讨论导函数正负，即得解；

（2）转化原不等式为在区间内恒成立，令，求导分析单调性，即得解

【详解】（1）由题意得的定义域为，

，

①时，，在内单调递减，

②时，令得或（舍）

当，单调递减

当，，单调递增．

（2）由题意得，

整理得，

因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，

令，则，

令，易知在区间内单调递增，

又，，故存在唯一的，使得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

故当时，函数有极大值，也即为最大值，

，

故，又，故，

又a为整数，故a的最小整数值为