2023届甘肃省陇南、临夏、甘南三地高三上学期期中联考理科数学试卷

2022-2023学年甘肃省陇南、临夏、甘南三地高三（上）期中数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 集合的真子集个数为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 函数的定义域为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 在等差数列中，若为其前项和，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知的三个顶点坐标分别为、、，则点到边的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知过，两点的直线与过，两点的直线互相垂直，则点有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

9. 直线恒过一定点，则此定点为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，是棱长为的正方体，，分别是棱，上的动点，且当，，，共面时，平面与平面所成二面角的余弦值为(    )
     

A.  B.  C.  D.

11. 若偶函数在上是增函数，则(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为 (    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知的定义域为，则的定义域是______．
14. 已知，若，则______．
15. 设是数列的前项和，若，则______．
16. 已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知函数．
    当时，求的最值；
    使在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
18. 本小题分
    已知函数
    求不等式的解集；
    若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．
19. 本小题分
    已知数列的前项和与通项满足．
    求数列的通项公式；
    设，，，求．
20. 本小题分
    已知在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点．
    
    证明：平面；
    若，求与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
    已知直线经过直线与的交点，
    点到的距离为，求的方程；
    求点到的距离的最大值．
22. 本小题分
    已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点．
    求椭圆的标准方程；
    设椭圆的焦点为，，点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
集合的真子集个数为．
故选：．
把集合利用列举法写出，即，可得集合的真子集个数为．
本题考查子集与真子集，考查了计算子集个数的公式：即一个集合中有的元素，则其子集个数为，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得：，是必要条件，
而“”不一定有，也可能，
故不是充分条件，
故选：．
根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查线面的位置关系的判断，是一道基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，使得，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意，，解得或，
函数的定义域为．
故选：．
依题意，直接接不等式，即可求得定义域．
本题考查函数定义域的求法，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在等差数列中，若为其前项和，，
．
故选：．
利用等差数列通项公式和前项和公式能求出．
本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设圆上任意一点为，中点为，
则，可得，
代入得，
化简得．
故选：．
设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程．
本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
直线的方程为：，
化为．
点到边的距离为．
故选：．
利用斜率计算公式可得，利用点斜式即可得出直线的方程．再利用点到直线的距离公式即可得出点到边的距离．
本题考查了斜率计算公式、点斜式、点到直线的距离公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：过，两点的直线的斜率不存在，
，
，即，解得，，
故点有无数个．
故选：．
根据已知条件，结合斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，
可得，
故，解得，
所以该直线过定点．
故选：．
先将方程进行变形，转化为求解两条直线的交点，即可得到答案．
本题考查了直线恒过定点问题的求解，两条直线交点坐标的求解，考查了运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
建立空间直角坐标系，由题意知：当，时，，，、共面，由此利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解答】
解：以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

由题意知：当，时，，，、 共面，
设平面的法向量为，
，，，
，，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：因为在上是增函数，且，
所以，
又为偶函数，所以，
则，
故选B．
根据在上是增函数，且，可得，，的大小关系，
再根据偶函数的性质可得，，的大小关系．
本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．
由题意求得双曲线的右焦点，由与轴垂直，代入即可求得点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得的面积．

【解答】

解：由双曲线：的右焦点，
与轴垂直，
当在第一象限时，
设，，
则，即，
，，，
的面积，
同理当在第四象限时，的面积，
故选D．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为的定义域为，
所以，
由得．
则的定义域为．
故答案为：．
由已知结合函数的定义可建立关于的不等式，进而可求结论．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当，，，，，时，
的值分别为，，，，，；
的值分别为，，，，，；
比较发现，当取或符合题意．
故答案为：或．
分别计算，，，，，时和的值，比较大小即可．
本题考查了指数式的大小比较问题，解题的关键是根据题意选择合适的方法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
相减可得：，
时，，；
时，，．
．
，，
则．
故答案为：．
利用数列递推关系，对分类讨论，可得其通项公式，再利用等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线经过点和点，
，
直线经过点和点，
，
与没有公共点，则，
，解得，
故答案为：．
分别根据斜率公式求出两条直线的斜率，再根据两直线平行，斜率相等即可求出的值．
本题考查了两直线平行的条件，斜率公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：当时，，由于，
在上单调递减，在上单调递增．
的最小值是．
又，，
故的最大值是．
由于函数的图象开口向上，对称轴是，
所以要使在上是单调函数，
应有，或，
即，或． 

【解析】根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
求出函数的对称轴，得到关于的不等式，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．
 

18.【答案】解：当时，由得，，
当时，由得或，，
综上所述，不等式的解集为，
方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，
函数的图象：

由图可知：，得：或
所以，实数的取值范围 

【解析】当时，不等式化为；当时，不等式化为；求并集即可；
方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，
画函数的图象，结合图象解题．
本题主要考查函数与不等式之间的关系，函数如果是分段的，要在每一段上考虑应用函数表达式是解题的关键．
 

19.【答案】解：当时，．
当时，，又，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，故．
由已知得，
，
．
．
． 

【解析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

20.【答案】证明：连结，底面为正三角形，

，
在底面上的射影是棱的中点，
底面，又面，
，，，面，
平面，
平面，，
于点，，
又，平面C.
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设，
则，，，
，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设与平面所成角为，
，． 

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．
连结，由正三角形的性质得，由射影性质得底面，从而平面，进而，由于点，是，由此能证明平面C.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由此能求出与平面所成角的正弦值．
 

21.【答案】解：经过两已知直线交点的直线系方程为
，即，
点到的距离为，．
即 ，，或，方程为或．
由解得，交点，如图，
过作任一直线，设为点到的距离，则
当时等号成立．
． 

【解析】直线方程为，根据点到的距离为，建立方程解出值，即得直线方程．
先求出交点的坐标，当时，点到的距离的最大值，故最大值为．
本题考查用待定系数法求直线方程，求两直线的交点的坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
 

22.【答案】解：的焦点为，，
设方程为，焦距为，则
，，椭圆的方程为．
，，设，则面积为，则，
又，，
点有个，坐标为． 

【解析】求出焦点坐标，利用椭圆经过的点，列出方程组，然后求解的方程．
设出的坐标，利用三角形的面积，求解即可．
本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．