2023届甘肃省武威市凉州区高三上学期第二次质量检测考试数学（文）试题（解析版）

2023届甘肃省武威市凉州区高三上学期第二次质量检测考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，B＝则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简集合，再由交集的定义求解即可

【详解】因为，B＝，

所以，

故选：C

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算及模长公式计算即可.

【详解】由题意可得，

所以，

故选：A

3．已知向量，且，则实数的值为（    ）

A． B．0 C． D．3

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算求得，再利用向量垂直的坐标表示即可求得值.

【详解】因为，

所以，

因为，，

所以，则.

故选：C.

4．曲线在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对求导，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，从而求得切线方程.

【详解】因为，所以，

所以曲线在处的切线的斜率为，

又因为当时，，

所以曲线在处的切线方程为，即.

故选：A.

5．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为20，若短轴长为6，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据题意计算出，然后利用的关系计算出最后求出离心率即可.

【详解】由题可知：,，即

所以有,

由椭圆的定义可知，

所以有，得

因为，所以

所以离心率

故选：C

6．在中，，则是（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【分析】根据三角形三边的性质，大边对大角，先利用余弦定理求出最大角的余弦值，进而判断三角形的形状即可.

【详解】在中，因为，则，

所以，由余弦定理可知：

，

所以角为钝角，则为钝角三角形，

故选：A.

7．已知命题；命题：若两条直线平行于同一平面，则这两条直线平行.下列命题是真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断出命题、命题的真假，再根据含有“或”，“且”，“非”复合命题的真假的判断方法逐项判断可得答案.

【详解】因为，所以是假命题，是真命题，

若两条直线平行于同一平面，则这两条直线可能平行，可能相交，也有可能异面，所以是假命题，是真命题，

对于A，是假命题，故错误；    对于B，是假命题，故错误；

对于C，是假命题，故错误；    对于D，是真命题，故正确.

故选：D.

8．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

9．已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（    ）

A．14 B．15 C．16 D．17

【答案】A

【分析】根据等差数列的基本量求得首项和公差，再结合等差数列的单调性，即可容易求得其前项和的最值.

【详解】设等差数列的公差为，则

解得，故，

故当时，；当时，，

所以当时，取最大值.

故选：A.

【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及其前项和最值得求解，属综合基础题.

10．下列命题中，真命题为（    ）

A．若点为角终边上一点，则

B．的解集为

C．如果角满足，那么角是第二象限的角

D．同时满足，的角有且只有一个

【答案】B

【分析】由三角函数的定义可判断A；由正切函数在第二或四象限为负值再结合特殊角的三角函数值可判断B；由象限角的概念可判断C；由特殊角的三角函数值与终边相同的角函数值相同可判断D；

【详解】对于A：若点为角终边上一点，

则当时，；当时，，选项A错误；

对于B：的解集为，选项B正确；

对于C：如果角满足，那么角是第三象限的角，选项C错误；

对于D：同时满足，的角有无数个，此时，选项D错误；

故选：B

11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程.

【详解】由题可得，所以，

又，所以，得，，

所以椭圆的方程为.

故选：D

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.

12．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )

A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)

【答案】B

【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，

令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，

函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，

由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．

则实数a的取值范围是（0，）．

故选B．

二、填空题

13．圆与圆的公共弦长为_________．

【答案】

【分析】两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算圆的圆心到公共弦所在直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得出答案.

【详解】解：由圆与圆，

两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，

圆的圆心，半径，

则圆心到直线的距离，

所以公共弦长为.

故答案为：.

14．若，，则_____________．

【答案】

【分析】应用切化弦与二倍角公式化简可得结果.

【详解】∵，   ∴，   ∴，

又∵，∴，∴，

∴，    ∴，   ∴，

故答案为：.

15．已知点，，向量，若，则实数等于___________.

【答案】

【分析】计算，根据列方程，计算得到答案.

【详解】因为，，

则，

因为，则，.

故答案为：.

16．若x，y满足条件，则目标函数的最小值是__________

【答案】2

【分析】可得将问题转化为可行域内的点到原点距离的最小值的平方，根据可行域，由原点作直线的垂线可得答案.

【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

目标函数的最小值可看作原点到阴影内点的距离的平方的最小值，

所以，过原点作直线的垂线，垂线段的长度，

易知.

故答案为：2.

三、解答题

17．若f （x）＝x2－2x，g（x）＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f (x0)，求实数a的取值范围．

【答案】

【分析】分别求两个函数的值域，利用子集关系，求参数的取值范围.

【详解】由于函数g（x）在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f (x0)，因此问题等价于函数g（x）的值域是函数f （x）值域的子集．

，，

函数f （x）的值域是[－1，3]，因为a>0，所以函数g（x）的值域是[2－a，2＋2a]，

则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即．故a的取值范围是．

18．已知等差数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将化简一下用基本量表示出来解方程可得，进而求出通项公式；

（2）将代入后，作为一组分组表示出来可得前项和.

【详解】（1）由可得，即，

设等差数列的公差为，则，解得.

（2）由（1）可得，.

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

(1)求B；

(2)若的面积等于，求的周长的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；

（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.

【详解】（1）解：因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

∵，所以，

所以，∴；

（2）解：依题意，∴ac＝4，

所以，当且仅当时取等号，

又由余弦定理得，

∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，

所以的周长最小值为．

20．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）18.

【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.

【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.

当y=0时，解得，所以a=4，

椭圆过点M(2，3)，可得，

解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得：，

化简可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值：.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．设函数，.

（1）若，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；

（2）在（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用求得的关系式，根据求得，进而求得，从而求得和的解析式.

（2）先求得的表达式，结合二次函数的对称轴和单调性来求的取值范围.

【详解】（1）∵，∴.

由f(x)≥0恒成立，知a＞0且方程ax2＋bx＋1＝0中的Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1，即b＝2.

从而f(x)＝x2＋2x＋1.

∴.

（2）由（1）可知f(x)＝x2＋2x＋1，

∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，

由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知或，解得k≤－2或k≥6.

即实数k的取值范围为.

【点睛】本小题主要考查分段函数解析的求法，考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.

22．在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.

于是，.

.

由得，.

所以的斜率为或.