2023届广东省七校联合体高三上学期11月第二次联考数学试题（解析版）

这是一份2023届广东省七校联合体高三上学期11月第二次联考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2．已知双曲线的右焦点为，过和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由焦点坐标得，从而求得，则该双曲线的方程可求.
【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，
又因为，，所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，故，
又因为双曲线的右焦点为，所以，故，
所以该双曲线的方程为.
故选：B.
3．已知复数，则（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据题意先求出复数的模，然后再根据复数的运算即可求解.
【详解】因为复数，所以，
则，
故选：.
4．若随机变量从正态分布，则，．现有40000人参加语文考试，成绩大致服从正态分布，则可估计本次语文成绩在116分以上的学生人数为（ ）
A．3640B．1820C．910D．455
【答案】C
【分析】由于成绩大致服从正态分布，可知，，由正态分布的性质可求出数学成绩116分以上的概率，从而可求出答案
【详解】依据题意可知，，由于，
所以.
因此本次考试116分以上的学生约有人.
故选：C
5．Sigmid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmid函数的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是奇函数
C．Sigmid函数的图象是关于中心对称
D．Sigmid函数是单调递增函数，函数是单调递减函数
【答案】C
【分析】求导得可判断A，再由奇偶性的定义与性质可判断BD，由可以判断C
【详解】对于A：由题意得，选项A错误；
对于B：设，则，
所以函数不是奇函数，选项B错误；
对于C：因为，
所以，
所以Sigmid雨数的图象的对称中心为，选项C正确；
对于D：由B可知，由的图象关于y轴对称，可知函数不单调，故选项D错误.
故选：C
6．如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意数列中…，观察数列特点可知,利用累加法,易求得,由裂项求和计算可得出结果.
【详解】根据题意数列中…,观察数列特点可知,利用累加法可求得得，
，.
故选:D.
【点睛】本题归纳推理,考查累加法求数列的通项公式,考查裂项求和的方法求数列的和,属于中档题.
7．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算.现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据：）
A．秒B．秒C．秒D．秒
【答案】B
【解析】根据题目意思得到，根据对数运算求出 .
【详解】解：设这台机器破译所需时间大约为秒，
则，两边同时取底数为10的对数
得，
所以，
所以
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】对数运算的一般思路:
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
8．已知 , , , 则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数,判断其单调性可得到，再利用与1的大小比较可得到.
【详解】设函数，则，令函数，则，所以函数在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，所以，即，所以．
因为，易证当时，，所以，而，所以，所以，
故选：A．
二、多选题
9．已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
【答案】ABC
【分析】对于A，由向量模的坐标公式，根据同角三角函数的恒等式，可得答案；
对于B，由共线定理，可得答案；
对于C，由数量积的性质，可得关于的等式，由辅助角公式和三角函数的性质，可得答案；
对于D，根据数量积的性质和辅助角公式，可得三角函数，可得答案.
【详解】对于A，，故正确；
对于B，由，则，即，，故正确.
对于C，由，则，
，，
，，解得，
因为，所以，故正确.
对于D，，
由，则，即当时，，故错误.
故选：ABC.
10．已知函数，若在和处切线平行，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据，即可判断选项；再结合均值不等式即可判断其它选项.
【详解】由题意知，因为在和处切线平行，
所以，即，化简得，A正确；
由基本不等式及，可得，即，B错误；，C错误；
，D正确．
故选：AD
【点睛】本题考查利用导数的几何意义处理切线平行的问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.
11．已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的零点个数为4B．的极值点个数为3
C．轴为曲线的切线D．若则
【答案】BCD
【分析】利用导函数研究函数的大致图像判断ABC，利用对称性判断D即可.
【详解】由题意，
令，得到．
分别画出和的图像，如图所示：
由图知：有三个解，即有三个解，分别为．
所以为增函数，
为减函数，
为增函数，
为减函数．
所以当时，取得极大值为0，当时，取得极小值为，
当时，取得极大值为0，
所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确．
因为函数的极大值为0，所以轴为曲线的切线，故C正确；
因为，
所以若则，D正确；
故选：BCD
12．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】由题易证得面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点，使得，易知点Q的轨迹为圆弧可判断D.
【详解】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，，过作于点，
则.故C错误；
对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．
【答案】
【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积
【详解】设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，
所以，解得，
所以圆锥的表面积为，
故答案为：
14．过的直线与圆：交于、两点，当最大时，直线的方程为_________.
【答案】
【分析】取得中点D，得到，，利用向量数量积运算法则得到，结合得到取得最大值时，取得最小值，结合直线过的定点得到当D与M点重合时，取得最大值，即最大，求出直线的斜率，从而求出直线的方程.
【详解】取得中点D，连接CD，则CD⊥AB，
则，，
，
因为，所以取得最大值时，取得最小值，
此时取得最大值，
因为直线的方程恒过点，
所以当D与M点重合时，取得最大值，即最大，
故CM与直线垂直，
此时，所以直线的斜率为-1，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
15．已知集合，.若存在，，使，则称函数与互为“n度零点函数”.若函数与函数互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【分析】求解函数零点，根据题意列不等式求解函数零点的范围，参变分离后，构造新函数，求导判断单调性，求解出最值，即可求解出答案.
【详解】由，得，
由，得，设其解为，
因为函数与函数互为“1度零点函数”，
所以，解得，
由，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得极大值，
又，，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
四、双空题
16．甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有4个红球和1 个白球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以、表示由甲袋取出的球是红球和白球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则________，________．
【答案】
【分析】利用古典概型的概率公式先求出，，即可得到，，再由全概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，，
，，
∴．
故答案为：；．
五、解答题
17．在中，.
（1）求角的大小；
（2）设的角平分线交于，且，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化简得到，再利用辅助角公式得到，计算得到答案.
（2）正弦定理得，再利用
计算得到答案.
【详解】解：（1）由题意知，.
即
，
又，所以.
（2）在中，由正弦定理得，
，，
所以.
【点睛】本题考查了正余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力和计算能力.
18．红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，（计算结果精确到0.01）
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，假设该地每年平均温度达到以上的概率为．该地今后4年中至少有两年需要人工防治的概率．
附：回归方程．
【答案】(1)适宜，
(2)
【分析】（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数y关于温度x的回归方程类型，对两边取自然对数得，令，则，由数据可得答案；
（2）利用对立事件、相互独立事件的概率进行计算可得答案.
【详解】（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数y关于温度x的回归方程类型．
对两边取自然对数，得，
令，则，
由数据得，
，，
所以，
，
所以z关于x的线性回归方程为，
则y关于x的回归方程为；
（2）若今后4年中有X年需要人工防治，且服从，
所以，今后4年中至少有两年需要人工防治的概率.
19．已知等差数列满足:，，成等差数列，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式
（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项和.
【答案】（1）；（2）477.
【分析】（1）根据等差中项的性质，可求得d值，根据等比中项的性质，可求得，代入公式，即可得答案.
（2）分析可得新数列中，前面（包括）共有项，令，，可解得k的范围，分析可得所以前面包括共有133项，所以后面（不包括）还有67个2.利用分组求和法，代入对应的求和公式，即可求得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为.
由题意得，即，解得，
又，即，解得，
所以.
（2）在新数列中，前面（包括）共有项，
令，，则，
所以，，，，，，出现在新数列的前200项中，
当时，，所以前面包括）共有133项，所以后面（不包括）还有67个2.
所以.
注：，，，，，，出现在新数列的前200项中，实际上表明：数列的前200项中，有7项是，，，，，，其余193项都是2.
【点睛】解题的关键是熟练掌握等差、等比数列的性质，并灵活应用，难点在于，需读懂题意，分析可得数列的前200项中，有7项是，，，，，，其余193项都是2.再代入公式，求解即可，属中档题.
20．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．
（1）证明：AE⊥PB；
（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接BD，设AE的中点为O，可证，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；
（2）证明OP⊥OB，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
【详解】（1）连接BD，设AE的中点为O，
∵AB∥CE，AB＝CECD，
∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，
∴△ADE，△ABE为等边三角形，
∴OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后，
又OP∩OB＝O，
∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，
∴AE⊥PB．
（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，
∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO，
又OP＝OB，∴OP⊥OB，
∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，
以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），
∴（，0，），（，，0），
设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），则，即，
令x得（，﹣1，1），
又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，
设二面角A﹣EP﹣C为α，则|csα|＝|cs|，
由图可知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以csα．
【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查面面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21．在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离比到点的距离大1.圆F的方程为．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)过点的直线交轨迹E于M、N两点，直线OM、ON分别交圆F于A、B两点．求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定点.
【分析】(1)根据给定条件可得动点P到直线的距离等于到点的距离，再借助抛物线定义求解作答.
(2)由(1)的结论设点M，N的坐标，并探求其关系，再求出点A，B的坐标，进而求出直线AB方程即可推理作答.
【详解】（1）依题意，点在直线的右侧，因动点P到直线的距离比到点的距离大1，
即动点P到直线的距离等于到点的距离，则轨迹E是顶点在原点，为焦点的抛物线，方程为，
所以动点P的轨迹E的方程是：
（2）由(1)及已知设，则，
而点M，Q，N共线，则，整理得：，又，则有，
直线，由消去x得：，解得点A纵坐标为，
从而得点，而直线，同理得点，
，
设直线AB上任意一点，则，因，又，
于是有：，
整理得：，
即，因，则直线AB方程为：，
显然无论取何值，当时，恒有，即直线AB过定点，
所以直线AB过定点，该定点坐标为
【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，可先探求这两个动点的坐标，再求出直线方程，即可推理计算解决问题.
22．已知函数，．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）当时，函数满足：对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.
【解析】（1）先对函数求导，令求出，根据导数的方法，即可得到函数单调性；
（2）先由，得到，由分离参数法方法，将原不等式化为，构造函数，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.
【详解】（1）由题意，
∵，，，令，得，
所以时，，单调递增，时，，单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，
由对恒成立，得，
设，则，
设，则时，，
所以在上单调递增，且，，
所以函数在上有唯一的零点
当时，，，单调递增;
当时，，，单调递减，
所以时，
所以，
，，即
因为是增函数，所以，
，
即的取值范围为.
【点睛】思路点睛：
导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
平均温度
21
23
25
27
29
31
33
平均产卵数/个
7
11
21
24
66
115
325
1.9
2.4
3.0
3.2
4.2
4.7
5.8
参考数据
5215
17713
717
81.3
3.6