2023届广东省佛山市顺德区华侨中学高三8月月考数学试题（解析版）

2023届广东省佛山市顺德区华侨中学高三8月月考数学试题

一、单选题

1．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.

【详解】，得，

即，解得或（舍去），

又.

故选：A.

【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

2．已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.

【详解】因为，

由正弦定理可得：，

所以，

所以，

所以或，

即(舍去)或，

故为直角三角形，

故选：C

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.

【详解】由题意可得：，

则：，，

从而有：，

即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.

4．已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据任意角三角函数你会定义得，再根据题意得，再利用诱导公式求解即可.

【详解】因为为角终边上一点，所以，

，当时，，，

所以.

故选：A.

5．如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是，桥头（C）的俯角是，则桥BC的长为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出与，由 求出的长即可.

【详解】解：如图所示：

由题意得：，

在中，，即，

整理得：；

在中，，即，

整理得：，

则

.

故选:A.

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

二、多选题

7．已知函数在上单调递增，则的可能值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据二倍角的余弦公式及辅助角公式，再结合三角函数的性质即可求解.

【详解】由题意，得，

由，解得,

当时，，即函数f（x）在上单调递增.

因为函数在上单调递增，所以.

故选：AC.

8．在中，若，下列结论中正确的有（    ）

A． B．是钝角三角形

C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆的半径为

【答案】ACD

【分析】先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A，D的正误, 结合余弦定理可得B，C的正误.

【详解】由题意,设,

解得;

所以,

所以A 正确;

由以上可知最大,

所以为锐角,

所以B错误;

由以上可知最小,

,

,

即,

因为为锐角,为锐角,所以

所以C正确;

因为，所以,

设外接圆的半径为,则由正弦定理可得

所以

所以D正确.

故选: ACD.

三、填空题

9．若，，则___________.

【答案】

【分析】利用正切两角和的公式进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：

10．已知函数，写出一个同时满足以下条件的的值___________．

①；

②是偶函数；

③在上恰有两个极值点．

【答案】4（答案不唯一）

【分析】根据函数要满足的三个条件结合正余弦函数的性质，可得答案.

【详解】根据是偶函数且，则取 ，

又的极值点即为其最值点，

又因为在上恰有两个极值点，故 ，

故函数，一个同时满足三个条件的的值可取为4，

经验证， 符合题意，

故答案为：4

11．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则___________.

【答案】##0.75

【分析】利用正弦定理、三角变换公式可得及，故可得，消元后可得的值.

【详解】由正弦定理可得，

故，

故，

整理得到，

而，故，所以，

故，解得或，

若，则，故同为钝角，这与矛盾，

故.

故答案为：.

四、解答题

12．已知的内角的对边分别为，且.

(1)求角A的大小；

(2)设，且，求边.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件再利用余弦定理即可得到，进而得到；

（2）先利用二倍角的正弦公式求得，再利用正弦定理即可求得边的值.

【详解】（1）的内角A，，的对边分别为，，，

因为，

则由正弦定理得：，即，

，又，.

（2）由，，，

得，，

又，

由正弦定理，得.

13．在中，角、、所对的边长分别为、、，若，．

(1)若，求的值；

(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，且或

【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简得出，结合已知条件可求得，进而可求得、的值，再利用余弦定理可求得结果；

（2）分析可知为钝角，由以及三角形三边关系可得出关于的不等式组，即可解得整数的值.

【详解】（1）解：，

因为，则，

所以，，则，即，可得，，，

由余弦定理可得.

（2）解：若存在正整数，使得为钝角三角形，且，则为钝角，

所以，，即，

解得，

根据三角形三边关系可得，可得，所以，，

，或.

因此，当或，为钝角三角形.

14．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.

【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，

得，

因为，所以，即．

又因为，所以．

（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理

因为，如图，在中，，①

在中，．②

由①②得，整理得．

又因为，所以，解得或，

当时，（舍去）．

当时，．

所以．

[方法二]：等面积法和三角形相似

如图，已知，则，

即，

而，即，

故有，从而．

由，即，即，即，

故，即，

又，所以，

则．

[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合

由（1）知，再由得．

在中，由正弦定理得．

又，所以，化简得．

在中，由正弦定理知，又由，所以．

在中，由余弦定理，得．

故．

[方法四]：构造辅助线利用相似的性质

如图，作，交于点E，则．

由，得．

在中，．

在中．

因为，

所以，

整理得．

又因为，所以，

即或．

下同解法1．

[方法五]：平面向量基本定理

因为，所以．

以向量为基底，有．

所以，

即，

又因为，所以．③

由余弦定理得，

所以④

联立③④，得．

所以或．

下同解法1．

[方法六]：建系求解

以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，

长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．

设，则．⑤

由知，，

即．⑥

联立⑤⑥解得或（舍去），，

代入⑥式得，

由余弦定理得．

【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.