2023届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

2023届吉林省四平市第一高级中学高三上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解一元二次不等式，求出，从而求出补集.

【详解】，解得：，所以，

因为，所以．

故选：D

2．设：，：，则是成立的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由解得，然后根据充分条件与必要条件的概念即可求解．

【详解】由解得，所以，但推不出，则是成立的充分不必要条件．

故选：B．

3．的内角的对边分别是，已知，则等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】直接由余弦定理求边长即可.

【详解】解：因为

又余弦定理得：，所以.

故选：B.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换即可解决

【详解】.

故选：D

5．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C．2 D．2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示求.

【详解】由，，，得，则，

所以，所以．选项D正确，

故选：D.

6．已知正数满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用基本不等式进行求解.

【详解】正数满足，

由基本不等式得：，解得：，

当且仅当，即时，等号成立，的最大值为。

故选：A

7．已知非零向量a，b满足，且，则 与 的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用数量积公式计算，由得，从而，得.

【详解】设 与 的夹角为，

因为, 则 ,

因为 , 所以 ，

 则 , 所以，

又因为 ， .

故选：D.

8．的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由求出的值，然后根据充分条件与必要条件的概念判断即可．

【详解】由，可得，解得或，所以选项C符合题意．

故选：C．

9．钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（    ）

A．9 B． C．6 D．

【答案】A

【分析】由题知，进而结合题意得，，再根据余弦定理解方程即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

又因为，

所以，为锐角，

所以，，

因为由余弦定理得，解得或，

因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.

所以

所以的周长为．

故选：A

10．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性化简得，解不等式即得解.

【详解】因为，所以是奇函数，

当时，是增函数，此时，

又，

所以在R上是增函数．又因为，，

所以可化为

所以，

解得．

故选：B

11．设函数，给出下列结论：

①若，，则；

②存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称；

③若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为；

④，在上单调递增.

其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据二倍角公式化简得，根据最值与周期的关系可判断①,根据平移可判断②，根据零点问题可判断③,根据整体法验证可判断④.

【详解】因为，所以的最小正周期为.

对于①，因为，故分别为最大、最小值，由于，所以的最小正周期，所以.故①错误；

对于②，图象变换后所得函数为，

若其图象关于原点对称，则，，解得，，

当时，，故②正确；

对于③，当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故③正确；

对于④，当时，，

因为，所以，，

所以在上单调递增.故④正确.综上，正确的个数为3.

故选：C

12．已知定义在上的函数满足：．且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得的图像关于点对称且时，，再结合性质求，，即可得答案.

【详解】因为，取可得，所以

，所以函数为奇函数，

所以函数的图象关于点（1，1）对称，由取可得，

由取可得，又，

所以，又，所以

，所以，

因为当时，，

所以当时，，

所以，又，

所以

故选：A.

二、填空题

13．已知向量，且，则__________.

【答案】

【分析】根据向量平行列出方程，求出m的值.

【详解】由题意得：，解得：.

故答案为：-1

14．若，则______.

【答案】3

【分析】根据同角三角函数的商数关系得到，结合正切的差角公式进行求解.

【详解】因为，

所以，，

故.

故答案为：3

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则______．

【答案】

【分析】由求，结合正弦定理列式即可求解

【详解】因为，，所以．由正弦定理得，解得.

故答案为：

16．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______

.

【答案】##

【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算用所求式子将表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.

【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，

所以

因为，所以，的最小值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知向量.

(1)当时，求；

(2)当最小时，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据平面向量在坐标形式下的运算可得答案；

（2）求出，然后根据二次函数的知识可得答案.

【详解】（1）当时，，

所以.

（2）因为，

所以，

所以，

所以当取最小时，.

18．如图，在中，为线段上的一个动点（不含端点），且满足.

(1)若，用向量表示；

(2)若，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解；

（2）利用数量积的运算律求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当时，.

（2）由（1）可知，

所以

因为，，

所以，

因为，所以，所以，

即的取值范围为.

19．如图，在中，已知.

(1)用向量分别表示与；

(2)证明：三点共线.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）选作为一组基底，其他向量用基底表示即可求解；（2）找到和的线性关系即可得解.

【详解】（1）因为，

则，.

（2）因为，

所以.

又因为与有公共点，所以三点共线.

20．的内角的对边分别为，．

(1)求；

(2)若，，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，再根据正弦定理边角互化并整理得，进而得答案；

（2）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得，进而结合已知条件得，再求解正弦值即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，即，

所以，正弦定理可得，

因为，

所以，

因为，．

所以，

因为，

所以．

（2）解：因为，

所以，由正弦定理得．

又因为，，

所以，

整理可得，即，

所以，

因为，

所以或，即或，

因为，

所以，．

21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知，．

(1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；

(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）在和中，利用余弦定理即可计算推理作答.

（2）由（1）的结论，利用三角形面积定理列出函数关系，结合二次函数最值求解作答.

【详解】（1）在中，由余弦定理得：，

即，

在中，，即，

因此，即，

所以．

（2）显然，，

于是得，由（1）知，

因此，

在中，，在中，，则，

由，得，即有，

从而当时，，所以的最大值是．

22．已知函数f（x）满足．

(1)求f（x）的解析式；

(2)若关于x的方程有3个不同的实数解，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用代替，再消去即可得解；

（2）令，讨论方程的实数解的情况，即可得出的范围．

【详解】（1）由①，可得②，

联立①②可得；

（2）由题可知，令t＝x－1，则，设 ，则，所以

函数为偶函数，又已知关于t的方程有3个不同的实数解，由对称性可得为方程的解，所以，可得， 所以有3个不同的实数解，又不等式可化为，所以或，所以有两个根，所以，所以m的取值范围为．