2023届江苏省淮安市涟水县第一中学高三上学期第二次阶段检测数学试题（解析版）

2023届江苏省淮安市涟水县第一中学高三上学期第二次阶段检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据交集定义计算即可.

【详解】由交集定义可知：.

故选：D

2．向量，，若，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据向量平行，得到方程组，求出的值，得到答案.

【详解】由题意得：，

即，解得：，

故.

故选：C

3．已知数列{an}中的首项a1＝2，且满足，则此数列的第三项是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据递推公式直接求解即可.

【详解】因为，且，

令，得，

令可得,

故此数列第三项为.

故选：A

4．函数f(x)＝3＋xln x的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求导，令f′(x)<0，解得0<x<，解之可得选项.

【详解】因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，令f′(x)<0，解得0<x<，故f(x)的单调递减区间是.

故选：B．

【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，关键在于求得导函数取正负的区间，属于基础题.

5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．

【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，

圆柱的侧面展开图是一个正方形，

，

圆柱的侧面积为，

圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，

圆柱的表面积与侧面积的比为：，

故选：．

6．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算的定义进行求解即可.

【详解】，

故选：A

7．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ）

A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年

【答案】A

【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案.

【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，

由于，余数为0，故100年后天干为壬，

由于，余数为4，故100年后地支为午，

综上：100年后的2122年为壬午年.

故选：A

8．如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.

【详解】如下图所示：

因为为等腰直角三角形，，所以的外接球的截面圆心为的中点，且，连接与的中点，则，所以面.设球心为，由球的截面性质可知，在上，设，，半径为，因为，所以，

所以，又，所以解得.因为，所以，所以当时，外接球表面积最小为，当时，外接球表面积最大为.所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为.

故选：A

二、多选题

9．已知平面⊥平面，，点，，若直线，直线AC⊥l，直线，则（    ）

A． B．AC⊥m C． D．AC⊥β

【答案】ABC

【分析】作出辅助线，由线面平行的性质可证明出，；

结合平行的传递性得到AC⊥m；

D选项可举出反例.

【详解】如图所示，因为，过直线作平面交于直线，作平面交于直线，

由线面平行的性质可得，故，

又，则，

又，，所以，

故，

因为，所以，A正确；

因为AC⊥l，，所以AC⊥m，B正确；

因为，，所以，C正确；

当时，此时AC⊥l，平面⊥平面，，由面面垂直的性质可知：AC⊥β；

当C点不在内时，此时AC与β不垂直，故D错误.

故选：ABC

10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即可判断各项的正误.

【详解】由题意知：，故，

∴，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，，显然，故D错误；

故选：BC

11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】对于ACD利用基本不等式即可证明，对于B利用等量替换即可求解.

【详解】由，知，，，当且仅当时成立，A正确；

由，得，故，B正确；

，当且仅当时，等号成立，故C错误；

，则，当且仅当时成立，故不一定成立，故D错误.

故选：AB

12．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ）

A．当平面时，与可能为

B．当时，的最小值为

C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为

D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为

【答案】AC

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，得到，求出平面的一个法向量，由，求出，再根据列出方程，求出或1，得到A正确；

B选项，先根据，得到点在棱上，将平面与平面沿着展成平面图形，结合余弦定理求出答案；

C选项，先得到为与平面所成角，根据所成角的大小得到，从而得到点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，求出轨迹长度；

D选项，先确定点在上，作出辅助线得到平行四边形即为正方体过点､P､C的截面，设，求出点到直线的距离，配方后得到其最大值与最小值，从而得到截面的最大值与最小值，得到取值范围.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

则，设平面的一个法向量为，

所以，

令，则，即平面的一个法向量为，

若平面，则，即，

故，故，其中，

令，

解得：或1，

故与可能是，A正确；

B选项，因为，故点在棱上，

如图，将平面与平面沿着展成平面图形，

线段即为的最小值，

利用余弦定理可得：

，

所以，B错误；

C选项，因为⊥平面，连接，则即为与平面所成角，

若与平面所成角为，则，所以，

即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，

于是点的轨迹长度为，C正确；

D选项，当时，点在上，过点作交于点，连接，

则，所以平行四边形即为正方体过点､P､C的截面，

设，

所以，则，，

所以点到直线的距离为，

于是当时，，的面积取得最小值，此时截面面积最小为，

当或1时，，的面积取得最大值，此时截面面积最大为，

故截面面积的取值范围为，D错误.

故选：AC

【点睛】立体几何中截面的处理思路：

（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；

（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；

（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；

（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

三、填空题

13．________

【答案】##-i+3

【分析】由复数的乘法运算法则计算即可.

【详解】.

故答案为：

14．已知向量，，则________

【答案】6

【分析】先计算出，再利用空间向量模长公式进行求解.

【详解】，

故.

故答案为：6

15．已知数列满足，，则 ______.

【答案】1023

【分析】由数列递推公式求特定项，依次求下去即可解决.

【详解】数列中，

则，，

，，

，

，

故答案为：1023

四、双空题

16．如图一个正三棱锥的底面边长为1，高为2，则此三棱锥的体积为________.若一个正三棱柱的顶点分别在三条棱上，分别在底面△ABC上，此三棱柱的侧面积最大值为________.

【答案】     ##    

【分析】由三棱锥的体积公式求出，再设，由相似可得：，表达出三棱柱的侧面积，配方后求出最值.

【详解】由三角形面积公式可得：，

由锥体体积公式可得：；

由题意得：三棱锥为正三棱锥，设其高为，

则，

设，则，

由相似知识得：，故，

则，

故三棱柱的侧面积为，

因为，所以当时，三棱柱的侧面积取得最大值，且，

故答案为：，.

五、解答题

17．记为等差数列的前n项和，已知，.

(1)求的通项公式；

(2)求，并求的最小值.

【答案】(1)

(2)，最小值为－15

【分析】（1）设出公差，根据求和公式列出方程，求出，进而写出通项公式；

（2）利用等差数列求和公式求出，并根据的正负，列出不等式，求出当n＝3时，取得最小值，并计算出最小值.

【详解】（1）设的公差为，由题意得.

由得：.

所以的通项公式为；

（2）由等差数列求和公式得：，

令，，解得：，

令，，解得：，

故当n＝3时，取得最小值，最小值为.

18．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．

(1)求证：EF∥平面AA1B1B；

(2)若AA1＝3，AB＝2，求EF与平面ABC所成的角．

【答案】（1）见证明；（2）60°

【分析】（1）取A1B1的中点D，连接DE、BD．利用三角形中位线定理，可得到四边形BDEF为平行四边形，进而得到BD∥EF，结合线面平行的判定定理，即可得到答案．

（2）取AC的中点H，连接HF，可得∠EFH即为直线EF与平面ABC所成的角，解△EFH即可得到答案．

【详解】(1)如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD．

因为E是A1C1的中点，所以DEB1C1.

又因为BCB1C1，BF＝BC，

所以DEBF.

所以四边形BDEF为平行四边形．

所以BD∥EF.

又因为BD⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，

所以EF∥平面AA1B1B．

(2)如图，取AC的中点H，连接HF，EH.

因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，

所以EH⊥平面ABC．

所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．

在Rt△EHF中，FH＝，EH＝AA1＝3，

所以tan∠EFH＝＝，

所以∠EFH＝60°.

故EF与平面ABC所成的角为60°.

【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直及平行的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答问题的关键．

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．

【详解】（1）由于， ，则．因为，

由正弦定理知，则．

（2）因为，由余弦定理，得，

即，解得，而，，

所以的面积．

20．已知数列{an}的通项公式为，.

(1)求数列的前n项和；

(2)设，求的前n项和的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，变形得到，从而，利用定义得到是等差数列，求出；

（2）得到，再利用裂项相消法求和，得到，由求出的取值范围.

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

∴，

又，

∴是首项为3，公差为6的等差数列，

∴；

（2），

∴

，

∵，

∴，

故的取值范围是.

21．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，

(1)求与所成的角

(2)平面与平面所成的锐二面角余弦值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出异面直线的夹角；

（2）在第一问的基础上，求出两平面的法向量，从而得到锐二面角的余弦值.

【详解】（1）由，可得⊥，又平面，

故以分别为轴建立空间直角坐标系.

则，

由，

则，所以，

所以与所成的角是；

（2）由题意为平面的一个法向量，

设为平面 的一个法向量，，

由，令，则，

故，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是.

22．设函数

(1)若在，x处取得极值，

 ①求a、b的值；

 ②在存在，使得不等式成立，求最小值

(2)当b＝a时，若在上是单调函数，求a的取值范围．

（参考数据，）

【答案】(1)①；②．

(2)

【分析】（1）①先对函数进行求导，根据函数在取得极值，则，代入可求a，b的值．

②转化为，从而求函数在区间上的最小值，从而求c的值

（2）此时，

先说明当符合条件，当时，分讨论在上的正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a的取值范围.

【详解】（1）①∵，∴．

∵在x＝1，x处取得极值，∴

即，解得，

∴所求a、b的值分别为；

②在存在，使得不等式成立，只需，

由，

∴时，，故在是单调递减；

当时，，故在是单调递增；

当时，，故在是单调递减；

∴是在上的极小值．

，

且，

又，∴，

∴，∴，

∴c的取值范围为，

所以c的最小值为．

（2）当a＝b时，，

当时，．则在上是单调递增；

当时，∵，∴，∴，则在上是单调递增；

当时，设，只需，从面得，

此时在上是单调递减；

综上得，a的取值范围是．