2023届江苏省南京市第一中学高三上学期9月质量检测数学试题（解析版）

2023届江苏省南京市第一中学高三上学期9月质量检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解不等式 ，再根据交集的定义求解即可.

【详解】由题意： ，解得 ， ；

故选：B.

2．已知，则“”是“是直角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合条件即得.

【详解】∵A为的内角，

∴，∴当时，，

∴充分性成立；

反过来，若是直角三角形，则A不一定是直角，

∴必要性不成立.

故选：A.

3．已知，向量在向量上的投影为，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量在向量上的投影求出，结合，求出，利用向量夹角余弦公式求出，得到向量与的夹角.

【详解】依题意，，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴.

故选：B.

4．已知函数在处有极值，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】B

【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.

【详解】由，得，

所以，即，

由题意，得，

当且仅当，即，时，取等号.

故选：B.

5．已知且，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件判断出角 所在的象限，再运用同角关系算出 即可.

【详解】由题意 ，

， 角在第四象限，

；

故选：A.

6．已知数列满足，，设 ，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意求得，则可得，根据其单调性可得，化简可得恒成立，即可求得答案.

【详解】由题意数列满足，可知，是以2为首项，2为公比

的等比数列，

所以 ，所以,

因为数列是递增数列，所以 ，对于任意的恒成立，

即,即恒成立 ,

因为时,取得最小值3 ，

故 ，即实数的取值范围是 ，

故选：A,

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性排除B，利用排除AC，即可得解.

【详解】函数的定义域关于原点对称，且，故函数是偶函数，则排除B，

又，则排除AC；

故选：D

8．设，，，则的大小关系正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】观察，构造函数约定，求导证明函数在是增函数，根据可以判断；

同时令构造函数约定，利用导数判断函数在亦是增函数，根据可得，进而得到.

【详解】由，，

令，构造函数，，

则，因为，所以

得，

下面说明，

因为，所以，即，所以，

所以当时，，所以在是增函数，

因为，所以，

即，整理可得，即，

因为，，

令，构造函数，，

则，令，

则，故在是增函数，

所以 ，所以在是增函数，

所以，即，

所以，即，

综上，.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．已知，都是正数，且，则

B．若，，，则“”的充要条件是“”

C．命题“使得”的否定是真命题

D．“且”是“”的充要条件

【答案】AC

【分析】利用不等式的性质判断A；利用不等式的性质、充分条件、必要条件、充要条件的定义判断BD；利用否命题判断C．

【详解】对于A，，都是正数，且，，，故A选项正确；

对于B，由得，但若，则推不出，如当时，，“”的充分不必要条件是“”，故B错误；

对于C，命题“使得”是假命题，该命题的否定是真命题，故C正确；

对于D，由且可得，但若推不出且，例如，，且是的充分不必要条件，故D错误．

故选：AC．

10．在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则这个三角形有两解

【答案】BCD

【分析】对于A选项，利用余弦定理即可判断；对于B选项，先解得，，，再利用正弦定理即可求解；对于C选项，利用边角关系定理以及正弦定理即可判断；对于D选项，利用正弦定理，再结合边角关系定理即可判断.

【详解】对于A，因为，则

所以，故A错误;

对于B, 若，又，则，，

则，故B正确;

对于C，若，则

由正弦定理可得（为的外接圆半径）

所以，故C正确;

对于D, 由正弦定理得,所以,由得,

所以为锐角或钝角，有两解，故D正确.

故选: BCD

11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含若正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（    ）

A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数

C．的最大值为 D．若，则

【答案】BD

【分析】利用对称性定义推理判断A；由与在上单调性判断B；借助导数求出在周期长的区间上的最大值判断C；由在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.

【详解】对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；

对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；

对于C，因，即是奇函数，

又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，

当时，，令，得，即，

当时，，当时，，则在上递增，在上递减，

因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，

由的正周期为，则在R上的最大值为，C错误；

对于D，由选项C得，，，，

又，则，

所以当时，，D正确．

故选：BD

12．设函数的定义域为，且满足，当时，.则下列说法正确的是（    ）

A．

B．当时，的取值范围为

C．为奇函数

D．方程仅有4个不同实数解

【答案】BC

【分析】A选项，根据，推导出，所以的周期为8，得到，A错误；

B选项，根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围；

C选项，根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数；

D选项，画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数.

【详解】因为，

所以，

因为，

故，

所以，

即，

所以，

所以，

所以的周期为8，

因为，

所以

因为，

所以，

因为时，，

所以，

故，A错误；

当，，

所以，

当，，，

所以，

综上：当时，的取值范围为，B正确；

因为，所以关于中心对称，

故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；

画出与的图象，如下：

因为

所以两函数图象共有5个交点，所以方程仅有5个不同实数解，D正错误.

故选：BC

三、填空题

13．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用一元二次方程有实根列式求解作答.

【详解】命题“，”为存在量词命题，且为真命题，即方程有实根，

因此，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：

14．若，则________．

【答案】

【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】∵，

故答案为：

15．已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．

【答案】

【分析】由条件结合等比数列定义，等差数列通项公式和前项和公式可得含的不等式，解不等式可求的取值范围.

【详解】因为，，1成等比数列，所以，所以，即，即．由，得，解得，即的公差的取值范围为．

故答案为：．

16．函数的最小值为___________.

【答案】.

【分析】将化为，采用换元，令，利用求导的方法求函数的最小值，进而求得答案.

【详解】因为，

令，设 ，则，

当时， ；当 时，，

所以，

又函数，

当时，，递减；当时，，递增；

故最小值为 ，而，

所以方程有解，即存在使得，

故的最小值为，

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用导数求函数最值问题，综合性强，能很好地考查学生的数学素养，要求思维能力较高，解答的关键是根据函数的解析式特点，合理变式，从而整体换元，构造函数，解决问题.

四、解答题

17．设函数的定义域为集合，集合．

(1)求函数的定义域；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据偶次根式和分式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果；

（2）根据交集结果可得，分别在和的情况下，由包含关系可构造不等式组求得结果.

【详解】（1）由题意得：，解得：，的定义域.

（2），；

当时，满足，则，解得：；

当时，由得：，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

18．已知函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式及对称中心；

(2)若，求值；

(3)先将的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图像，再将图像右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间．

【答案】(1)；对称中心为

(2)

(3)

【分析】（1）根据函数图像得，，，进而根据，再将点代入求解得，最后求解对称中心即可；

（2）结合（1）得，再根据，结合二倍角公式求解即可；

（3）由函数图像平移变换得，进而得，再解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：由图可知，，，即，解得，

所以，

再将点代入得，即，

因为，所以，

所以.

令，解得，

所以，的对称中心为

（2）解：由（1）知，

所以，即，

因为，

所以.

（3）解：将的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得，

再将图像右平移个单位后得到的图像，故，

因为，所以，

所以令，解得，

所以，函数在上的单调减区间为

19．在中，角所对的边分别为，，，.

(1)求的最大内角；

(2)若为上一点，且，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合余弦定理即可求解，

（2）根据余弦定理可得，进而可求的面积，根据比例即可求解的面积.

【详解】（1）因为，所以.

设，，，(),所以最大，

所以，

因为，所以，即的最大内角为.

（2）在中，，，

所以，解得.

又，

且，所以的面积为.

20．已知数列中，，其前n项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，若数列的前n项和为，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据与的关系可得出数列是等比数列从而得到通项公式；

（2）将带入化简得到，利用裂项相消可以求得的前项和，即可证明不等式.

【详解】（1）由题意得，（），

两式相减得（），

，又，，，

，

（），

是首项为1，公比为3的等比数列，

.

（2）由（1）可知，则，

所以，

，

，

又，.

21．已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程．

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）由导数求出斜率、切点坐标可得答案；

（2）求出，分，，讨论可得答案.

【详解】（1）当时，，则，

∴，

∴，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）函数的定义域为，

,

当时，由得或，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，由恒成立，

所以在上单调递增；

当时，由得或，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

22．已知函数．

(1)试讨论函数的零点个数；

(2)设，为函数的两个零点，证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）令，则，将零点问题转化为与的交点问题，结合导数运算求解；（2）构建新函数，利用导数分析其零点问题，并运用做差法结合导数判断的大小关系，进而证明结论.

【详解】（1）令，则

构建，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，则

令，则，

对，则，使得

则

故在上的值域为

同理可得：在上的值域为

所以当，即时，与有一个交点，有一个零点；

当，即时，与有两个交点，有两个零点；

当，即时，与有一个交点，有一个零点；

当，即时，与没有交点，没有零点．

综上所述：

当或时，有一个零点；

当时，有两个零点；

当时，没有零点．

（2）由题意可得函数的定义域为，

，

设，所以，

所以函数在上单调递增，

又，列表如下：

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

设，可得，，

因为，

所以

，

设函数，则，

函数在上单调递增，

所以，

所以，即，

又函数在上单调递减，

所以，所以．

【点睛】在判断的大小关系时，可以利用作差法处理可得，构建新函数，结合导数分析判断.