2023届江苏省南京市第一中学高三上学期10月质量检测数学试题（解析版）

2023届江苏省南京市第一中学高三上学期10月质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】解：由，即，解得或，

所以或，

所以，又，

所以；

故选：D

2．设（i是虚数单位，，），则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用复数的乘法求出x、y，即可求出.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B

3．已知角，且角的终边所在直线经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义及诱导公式计算可得.

【详解】解：依题意，其中，

所以；

故选：B

4．平面向量与的夹角为，则（    ）

A． B． C．4 D．12

【答案】B

【分析】先求出和，再利用可求得结果.

【详解】因为平面向量与的夹角为，

所以，，

所以

，

故选：B

5．我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶．在室内二氧化碳含量的多少也会对人体健康带来影响．下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：

《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为：室内二氧化碳浓度不大于（即为），所以室内要经常通风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值．经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧化碳浓度为，若开窗通风后二氧化碳浓度与经过时间（单位：分钟）的关系式为，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为（参考数据：，）（    ）A．分钟              B．分钟              C．分钟              D．分钟

【答案】A

【分析】由，可求得的值，然后解不等式，可得结果.

【详解】由题意可知，当时，，可得，则，

由，可得，

故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为分钟.

故选：A.

6．已知等差数列和等比数列均为递增数列，且，，若，则k的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得，由，即可得k的最小值.

【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为，

则，，因为，，

所以①，而，

所以②，

由①②得：，

即，，，

所以的最小值为4.

故选：B

7．已知函数的图像关于点对称，且当，成立.若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题知是奇函数，令，进而得函数为偶函数，在上单调递增，再根据函数单调性比较大小即可.

【详解】解：函数的图像关于点对称，

所以函数图像关于点对称，即是奇函数，

构造函数，，

因为当时，，

所以函数在上单调递减．

因为，，

所以函数为偶函数，

所以，函数在上单调递增，

因为= ，=

所以，，即.

故选：C．

8．对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】讨论当时，明显成立，当，转化为恒成立，然后构造函数和，利用导数求其最值即可.

【详解】当时，不等式成立；

当时，，

令，，

令，则，故的最小值为，令

，则，故是增函数，的最大值为，故，综上所述，.

故选 B.

【点睛】本题考查恒成立问题，通过参变分离，转化为函数的最值问题，是中档题.

二、多选题

9．已知,不等式恒成立,,不等式0,则下列说法正确的是(    )

A．p的否定是:,不等式

B．的否定是:,不等式

C．为真命题时,

D．q为假命题时,

【答案】ACD

【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题

【详解】的否定是:,不等式，A正确

的否定是:,不等式，B错误

若为真命题,则,即

解得，C正确

若为假命题,则恒成立

即恒成立

因为,当且仅当,即取等

所以，D正确

故选：ACD

10．已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A．函数 B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增 D．当时，函数的最大值是

【答案】AB

【分析】利用两角差的正弦公式将化为，根据函数的最小正周期确定，根据奇偶性确定，可得其解析式，根据三角函数的平移变换可得函数的解析式，判断A;代入验证可判断B；根据x的范围，确定的范围，结合正弦函数性质，可判断C,D.

【详解】由题意可得，

因为的最小正周期为，所以 ，

又因为为奇函数，所以，而，故，

所以，

则将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，

故，A正确；

将代入中，有，

即函数的图象关于点对称，B正确；

当时，，由于正弦函数在上不单调，

故在区间上不是单调递增函数，故C错误；

当时，，，

函数最大值为2，D错误，

故选：AB

11．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则（　　）

A．在数列中， 最大

B．在数列中， 或 最大

C．  

D．当 时，

【答案】AD

【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD正确，B错误，结合等差数列的性质可判断，判断C.

【详解】为等差数列，∵，且，

∴ ，

即，

∴{an}是递减等差数列，最大，当 时，，当 时，，

故AD正确，B错误，

，

则 ，故C错误，

故选：AD．

12．若，，当时，，则下列说法错误的是（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．

D．函数在上单调递减

【答案】ABD

【分析】由题意求出，作出图象，即可求解

【详解】由，可知，，

可知关于直线对称，当时，，

当时，，，

所以，

作出的图象，

所以在，上单调递增，在，上单调递减，

，不是奇函数，故ABD错误，C正确；

故选：ABD

三、填空题

13．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则______

【答案】

【分析】由角的象限及纵坐标可得 ，即可结合诱导公式化简求值

【详解】点P在第二象限，故， ，故，则.

故答案为：

14．已知函数，则的值为________

【答案】－3

【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围．

【详解】，，

∴．

故答案为：．

15．已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是________．

【答案】

【详解】在中, ，所以.

.

当点在圆上运动时,位于处时,有最大值为.

当位于处时,有最小值为.

.

所以 .

故答案为: .

16．已知函数,,对任意,存在,使,则的最小值为________.

【答案】

【分析】设,把表示成的函数,利用导数求解

【详解】设则

由题知,所以

所以

设

易知在上单调递增,注意到

当单调递减

当单调递增

所以的最小值为

所以的最小值为

故答案为：

【点睛】方法点睛：本题属于典型的等高线问题，一般方法就是设,最后转化为关于的一元函数求解.

四、解答题

17．函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.

(1)求集合A，B；

(2)若集合A，B满足，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或，

(2)

【分析】（1）根据函数的定义域和值域的求法求出集合.

（2）根据集合的交并运算以及包含关系求参数范围.

【详解】（1）解：由题意得：

∵函数的定义域为集合A，

函数的值域为集合B，

∴，

.

（2）∵集合A，B满足，

∴，

∴或，

解得或.

∴实数a的取值范围.

18．已知数列满足为等比数列.

(1)证明：是等差数列，并求出的通项公式.

(2)求的前项和为.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）根据题意得，进而根据等差数列定义证明，并结合通项公式求解即可；

（2）根据错位相减法求解即可；

【详解】（1）证明：因为数列满足为等比数列，

所以的公比，首项为

所以，即，

所以是以为公差的等差数列，首项为，

所以，，

所以，

（2）解：根据错位相减法有：

，

，

所以，

，

所以

19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)若点D在边BC上，，且，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）结合三角恒等变换、正弦定理等知识求得，进而求得的大小.

（2）由两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值，进而求得面积的最大值．

【详解】（1）由已知，得，

根据正弦定理，得，

即，

由于，，所以，为锐角，所以．

（2）由，得，则，

所以，

所以，，

则，

所以，当且仅当，即，时等号成立，

所以．

即面积的最大值为．

20．在中，内角的对边分别为．若．

(1)求角的大小；

(2)设是的中点，且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合和正弦和角公式得，进而求得答案；

（2）根据题意得，进而得，解方程得，再求面积即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，由正弦定理边角互化得，

因为，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

（2）解：因为是的中点，

所以，，

所以，，

因为，

所以，，即，解得，（舍），

所以，.

21．已知函数，且．

(1)求a的值；

(2)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(3)若对于任意的，总有，直接写出m的最大值．

【答案】(1)；

(2)函数的最小正周期为，单调递增区间为，；

(3)m的最大值为.

【分析】(1)由条件列方程求，(2)由辅助角公式化简函数表达式，结合正弦函数的性质求函数的最小正周期及单调递增区间；(3)解不等式求的范围，由此确定的最大值.

【详解】（1）因为，，所以，所以，所以，所以，

（2）由(1) ，化简得，

所以，

所以函数的最小正周期，

由，，得，，

所以函数的单调递增区间为，；

（3）由，可得，所以，所以，，化简可得

由对于任意的，总有可得的最大值为.

22．已知函数.

(1)若，求函数f（x）的零点个数；

(2)若函数，是否存在，使得在处取得极小值？说明理由.

【答案】(1)两个

(2)存在，理由见解析

【分析】（1）先对求导，再分类讨论、与三种情况时的正负情况，再结合零点存在定理得到的零点情况，从而得到的单调性，结合零点存在定理即可判断函数f（x）的零点个数；

（2）先对求导，利用极小值点的意义求得，再令，分类讨论、与三种情况时的图像性质，从而得到的单调性与零点情况，进而得到的图像性质，证得在处取得极小值.

【详解】（1）时，，

当时，，，，在上单调递减；

当时，单调递增，，，

当时，显然大于0，

∴存在，使得，

∴在单调递减，在单调递增，

∵，，，

∴有两个零点.

（2）依题意，得，

，

显然是的极小值点的必要条件为，即，

此时，

令，则，

显然在递增，，，

当时，，，，∴，

当时，，，，∴，

∴存在唯一的零点，且，

∴在单调递减，单调递增，

，，

∴在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点，

当时，，

∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，

∴当时，是的极小值点.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．