辽宁省大连市2023届高三上学期期末双基测试数学试题（原卷及解析版）

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数学
注意事项：
1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
━．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 是虚数单位，若复数，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 开普勒（Jhannes Kepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（ ）
A. 0.66aB. 0.70aC. 0.76aD. 0.96a
5. 若二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A. 10B. 15C. 25D. 30
6. 若，且．则（ ）
A. B. 2C. 3D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为
C. 的单调递减区间为
D. 图象与函数的图象重合
10. 下列结论正确的有（ ）
A. 若随机变量，，则
B. 若随机变量，则
C. 已知回归直线方程为，且，，则
D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22
11. 正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，的中点，则（ ）
A. 直线与直线AF垂直B. 直线与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 点与点D到平面AEF的距离相等
12. 已知点F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则（ ）
A. B. 四边形ABCD面积最小值为64
C. D. 若，则直线CD的斜率为
第Ⅱ卷
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13. 设向量，且,则_________．
14. 若直线为函数图像一条切线，则a的值是________．
15. 已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________．
16. 已知菱形边长为，，为对角线上一点，．将沿翻折到的位置，移动到且二面角的大小为，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为__________．
四、解答题：（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明x证明过程或演算步骤）
17. 已知公差为正数的等差数列的前项和为，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①成等比数列，②．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18. 记内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求的值；
（2）若的面积为，，求周长．
19. 如图多面体，正方形的边长为，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，且，求长．
20. 某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有份样本，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份样本的阳性样本，则对k份本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且k份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费．假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为．
（1）若份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用数学期望低于方案一，求k的最大值．
参考数据：
21. 已知双曲线离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设
（1）求双曲线Q的标准方程；
（2）求证：C，D，B三点共线；
（3）若面积为，求直线l的方程．
22. 已知函数 ，
（1）若时，求证：函数）只有一个零点；
（2）对时，总有恒成立，求k取值范围．