2023届江苏省南通市如东县中高三上学期12月阶段测试数学试题（Word版含答案）

如东县中2022-2023学年高三上学期12月阶段测试

数学试题答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

2．已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的运算化简复数，可得其共轭复数，利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为，则，则，

所以，，因此，复数所对应的点位于第四象限.

故选：D.

3．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由题意, 设明间的宽度为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为,

同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为,

则由可得

所以总宽度为

故选:

4．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1，第4个正最值点大于1可解.

【详解】，

因为，所以，

又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，

由图像得：，解得：，

所以实数的取值范围是.

5．已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】B

【详解】，

故函数关于对称，又在上严格递增；

即

当且仅当时取得.

6．，则（    ）

A． B．2 C．4 D．12

【答案】C

7．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，，若，则双曲线离心率的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】双曲线的渐近线方程：，即，

设点，可得，

分别联立两组直线方程可得，，

，∵，∴，

∴，由题意，所以，即，

所以，即∴.

8．已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为为奇函数，所以，即，

两边同时求导，则有，所以的图象关于直线对称．

因为为偶函数，所以，即，

两边同时求导，则有，所以函数的图象关于点对称．

所以，，，

所以，函数为周期函数，且周期为，

则有，，

所以．

故选：B.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（）

A．                     B．200名党员员工测试分数的众数约为87.5

C．得分在的人数为4人    D．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85

【答案】ABD

【详解】，得，A正确；

200名党员员工测试分数的众数约为87.5，B正确；

得分在的人数为，C错误；

∵(0.025+0.035+0.040)×5=0.1×5=0.5，所以估计200名党员员工测试分数的中位数为85，D正确．

10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若为钝角三角形，则

C．若，则有两解

D．若三角形为斜三角形，则

【答案】ACD

【解析】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，

所以，，故A选项正确；

对于B选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，B选项错误；

对于C选项，，则，如图：

所以有两解，C选项正确；

对于D，因为，

所以

因为，

所以，

所以，所以D正确.

11．甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（    ）

A．不同的安排方法共有240种

B．甲志愿者被安排到学校的概率是

C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种

D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是

【答案】ABD

【解析】甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，

则共有种安排方法，故A正确；

甲志愿者被安排到A学校，若甲学校只有一个人，则有种安排方法，

若甲学校只有2个人，则有种安排方法，所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；

若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；

甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，

在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，

所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确.

12．已知抛物线，点，过M作抛物线的两条切线，其中A，B为切点，直线与y轴交于点P，则下列结论正确的有（）

A．点P的坐标为 B．

C．的面积的最大值为 D．的取值范围是

【答案】AC

【解析】由题意，设，由，可得，

所以点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，

设过点的切线方程为，

联立方程组，可得，

由，可得，

又由，则，

所以不垂直，所以B不正确；

由，所以的直线方程为，

即，将代入直线的方程，可得，

由知，方程成立，所以点在直线上，所以A正确；

由点在直线上，可设直线的方程为，

则点到的距离为，

且

，

所以，

因为，可得，所以的最大值为，所以C正确；

由，所以，

由，可得，

所以，因为，可得，

又由，设，可得，

即，解得或，

即的取值范围是，所以D不正确.

故选：AC.

三、填空题:共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．已知角α的顶点与坐标原点O重合，角的始边与x轴非负半轴重合，点P是α的终边与单位圆的交点．

若在x轴上的投影向量的坐标为，则.

【答案】

14．已知数列满足，，，则的前项积的最大值为.

【答案】2

15．在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是.

【答案】

【解析】为的中点，且，为直角三角形，，

若，为切线，且，则，在中，，，，

则，过点向圆引的两条切线的夹角不小于时，满足题意，

则圆心到的距离不大于，即，解得.故选：C.

16．已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是.

【答案】

【解析】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，

令，则，即在上有解，

即在上有解即在上有解，

设，，则，

当时，，故在为增函数，

当时，，故在为减函数，

而，故在上的值域为，

故即，故选：D.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤

17．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答

在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.

解：选①，由，可得，

即，

所以，

又，所以，所以，所以，

选②，由，可得，

即，所以，

所以，又因，所以，

选③，因为，

所以，又，所以，

则，所以，

所以，

如图，设边上的中垂线垂足为点，

因为垂直平分，所以，又，所以，

在中，，所以，即.

18.等差数列的前项和为，且.数列的前项和为，且

(1)求数列的通项公式；

(2)数列满足，求.

【详解】（1）因为数列为等差数列，且，

所以，解得

.又因为, 得，

当时,.

又因为所以，

所以，；

（2）

=

=

=

=

令

则

所以，

所以，

综上，

19．如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，，把沿向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面平面．

（1）证明：；

（2）在（1）的条件下求二面角的余弦值．

【解析】（1）证明：如图，设的中点为F，连接．

∵为等边三角形，∴．

又平面平面，平面平面，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，

∴，∴．

又，∴平面．

又∵平面，∴．

（2）由（1）知平面，则平面平面．

设中点为O，连接，则．

又平面平面，平面平面，∴平面．

设中点为，连接．

∵，∴，

故以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，

∴，

．

设平面的法向量为，

由得取，则

设平面的法向量为，

由得取，则，

∴二面角的余弦值为

20．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中(3个白球和2个黑球)轮流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.

（1）分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；

（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.

【解析】（1）设“3轮获胜”为事件A，“5轮获胜”为事件B

3轮：白黑黑：，黑白黑：，

所以，

5轮：最后一球为黑球：，

所以，

（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为. X的所有可能取值为：0､1､2､3，

，

，

，

，

分布列为：

.

21．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．

【解析】（1）由题意，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，

可得，即，

又由过且垂直于长轴的椭圆的弦长为，可得，

联立方程组，可得：，，所以，

故椭圆的标准方程为.

（2）设的内切圆半径为，可得，

又因为，所以，

要使的内切圆面积最大，只需的值最大，

由题意直线斜率不为，设，，直线，

联立方程组，整理得，

易得，且，，

所以，

设，则，

设，可得，

所以当，即时，的最大值为，此时，

所以的内切圆面积最大为.

22．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，设，，函数有两个极值点、．

①求的取值范围；

②若，求的取值范围．

【解析】（1）函数的定义域为，

.

①当时，，由可得或，由可得，

此时函数的增区间为、，减区间为；

②当时，且不恒为零，此时函数的增区间为；

③当时，，由可得或，由可得，

此时函数的增区间为、，减区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；

当时，函数的增区间为；

当时，函数的增区间为、，减区间为.

（2）①当时，，其中，

因为函数有两个极值点，则有两个变号的零点，

所以，直线与函数的图象有两个交点（非切点），

，当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，则的极小值为，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点（非切点），

因此，；

②由于的两个变号零点分别为、，得，

所以，令，

把代入中可得，所以，

令，，则，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，则，则，

所以，函数，

设，则，其中，

构造函数，其中，则，

①当时，即当时，且不恒为零，

所以，函数在上为增函数，则，合乎题意；

②当时，则对任意的，，

所以，函数在上为增函数，则，合乎题意；

③当时，则，设方程的两根为、，

且，则，所以，必有，

当时，，此时函数单调递减，则，不合乎要求.

综上，，所以，，故.