2023届江苏省盐城市亭湖高级中学高三上学期第一次摸底考试数学试题（解析版）

这是一份2023届江苏省盐城市亭湖高级中学高三上学期第一次摸底考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省盐城市亭湖高级中学高三上学期第一次摸底考试数学试题 一、单选题1．已知集合为质数，则的非空子集个数为（    ）A．4 B．7 C．8 D．【答案】B【分析】由题意易知，则可求出答案.【详解】结合交集的运算易得，共含有3个元素，其非空子集个数为.故选：B.2．已知命题，则为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由全称命题的否定即可选出答案.【详解】根据命题的否定可知，为.故选：B.3．函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数函数、二次函数的单调性、对数的定义进行求解即可.【详解】由对数的定义可知：或，二次函数的对称轴为，所以该二次函数的单调递增区间为，所以的单调递增区间是，故选：D4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ）A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【分析】将所得函数解析式变形为，然后利用函数图象的平移法则可得出结论.【详解】解：因为，所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度.故选：C.5．函数的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D，利用当时，，排除选项B，C，即得解.【详解】解：∵函数的定义域为，关于原点对称，，∴为奇函数，排除选项D．当时，，，∴，排除选项B，C．故选：A．6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c【答案】A【分析】先分析的单调性，然后比较对数式的大小，从而确定正确答案.【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减.，，，，所以.故选：A7．已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为（    ）A．4 B． C．0 D．2【答案】C【分析】由，可得，再根据条件得到周期后即可求解.【详解】由，可知函数关于点中心对称，即有；由为偶函数，可知函数关于对称，即有.于是有，从而可得，因此可得函数的周期为4.所以，.再由，令，有，即.所以.故选：C8．已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．（1，4）【答案】A【分析】将问题化为在对应定义域内，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．当时，，由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．当时，单调递增，则，所以，可得．故选：A 二、多选题9．图中阴影部分所表示的集合是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案.【详解】A选项：，则，故A正确；B选项：，则，故B错；C选项：，故C正确；D选项：，故D错.故选：AC.10．若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（    ）A． B． C．1 D．4【答案】ACD【分析】先解两个不等式，得到是的真子集，解不等式或，即得解.【详解】，解得，即，解得或，由题意知是的真子集，所以或，所以或，即.故选：ACD11．已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ）A．B．直线为函数图象的一条对称轴C．函数在区间上存在2个零点D．若在区间上的根为，则【答案】ABD【分析】利用赋值法及偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解.【详解】令，得，则，又函数是偶函数，故，故A正确；根据A可得，所以，又，所以，故直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；由的周期为4，，且当时，是减函数，可得函数在区间上存在3个零点，故C不正确；易得函数的图象关于直线对称，故，即，故D正确．故选：ABD.12．任何一个正整数x都可以表示成，此时．则下列结论正确的是（    ）真数N2345678（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.903 A．x是位数 B．x是n位数 C．是47位数 D．是11位数【答案】AD【分析】结合已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，所以x是位数，故A正确，B不正确；设，则，所以，所以是48位数，故C不正确；对于D，若，则，则，故是11位数，故D正确．故选：AD 三、填空题13．函数的定义域为______．【答案】（1，3）【分析】根据定义域的定义列不等式求解即可.【详解】由题意可得： 解得，即定义域为（1，3）；故答案为： .14．写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可.【详解】因为对任意，都有，所以函数在上减函数.又，故函数可以为.（注：满足题目条件的函数表达式均可.）故答案为：（答案不唯一）15．设x，y为正实数，已知，则的值为______．【答案】7【分析】根据对数的运算法则及根式的运算法则计算可得.【详解】解：由，可得，则，则，则，两边同时除以得．故答案为：16．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若函数（且）有且仅有个零点，则的取值范围是______．【答案】【分析】由题意易知为的周期函数，函数（且）有且仅有个零点，等价于函数与函数有6个交点，分别画出两个函数图像，使其有6个交点，即可列出不等式组，解出即为答案.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，又，所以，所以为的周期函数，令，则，所以，又，所以当时，函数（且）有且仅有个零点，等价于函数与函数有6个交点，当时，函数与函数只有2个交点，不满足题意；当时，画出图像：如图所示，要使函数与函数有6个交点，则，故答案为：. 四、解答题17．已知集合，．(1)若，求；(2)在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．若______，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，集合，则可求出；（2）任选一个条件都可得，讨论集合是否为空集，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）当时，集合，又，所以；（2）方案一  选择条件①．由，得．当时，，得，此时，符合题意；当时，得，解得．综上，实数a的取值范围是．方案二  选择条件②．由，得．当时，，得，此时，符合题意．当时，得，解得．综上，实数a的取值范围是．18．已知函数的解析式.(1)求；(2)若，求a的值；(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.【答案】(1)(2)或(3)图象见解析， 【分析】（1）根据解析式直接求解可得；（2）根据a的范围分段解方程可得；（3）根据解析式直接描点作图即可.【详解】（1）∵函数的解析式，∴，.（2）∵，，∴或或，解得或.（3）画出函数的图象如图所示：    由图可知，的最大值为，函数的值域为.19．已知函数，若在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求函数在上的最大值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解，；（2）结合导数分析函数的单调性，然后结合单调性与最值关系可求函数的最大值．【详解】（1）因为，所以，由题意得，所以，；（2）由（1）得，，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，又，，因为故函数在上的最大值为．20．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（，且）图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效.(1)试求服药后小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（参考数据）【答案】(1)(2)0.3小时，5.2小时 【分析】（1）当时，设，再将代入即可求出的值，当时，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值，则可写出答案；（2）分段求出时，对应的的取值范围，即可写出答案.【详解】（1）当时，由图象可设，将点的坐标代入函数表达式，解得，所以；当时，将点的坐标代入函数表达式，得解得，所以，故.（2）当时，，令，解得，即又因为，所以，故服药0.3小时后开始有治疗效果.当时，，令，解得，又因为，所以.所以当时，治疗有效，，所以服药后的治疗效果能持续小时.21．已知函数．(1)判断并证明在其定义域上的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递增；证明见解析(2) 【分析】（1）设，可整理得到，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为，由单调性可求得，由此可得的取值范围.【详解】（1）在上单调递增，证明如下：设，；，，又，，，在上单调递增.（2），为上的奇函数，由得：，由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；当时，，在上恒成立；令，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.22．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若，设是的两个极值点，求证；．【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间(2)证明见解析 【分析】（1）求导后，由在恒成立即可得到单调区间；（2）求导后，由极值点定义可得，；将化为；令，利用导数可求得，即；设，，代入，结合韦达定理的结论可得，由此可推导得到结论.【详解】（1）当时，，则的定义域为，；的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）由题意得：，是的两个极值点，，；，；令，则，在上单调递增，，即；设，，，即，，，即.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调区间、不等式证明的问题；本题证明不等式的关键是能够构造函数，利用导数得到，从而代入求得.