2023届四川省成都市树德中学高三上学期11月阶段性测试 数学（文）试题（解析版）

2023届四川省成都市树德中学高三上学期11月阶段性测试 数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知化简集合，再根据集合交集的运算即可得.

【详解】解：或，

所以.

故选：A.

2．设复数z满足，则z= （ ）

A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i

【答案】A

【分析】

【详解】由得=，故选A.

【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.

3．中，点D满足：，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量加减及数乘运算法则得到，求出.

【详解】∵，

∴，

故，

所以，故.

故选：C

4．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为、，两次抛掷得到的结果可以用表示，

则结果有，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

共有36种．

其中满足有：，，，，，，，，，，，，，共种，

所以满足的概率．

故选：B

5．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.

【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.

故选：B.

6．已知函数定义域为R，定义域为在处的切线斜率与在处的切线斜率相等，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】由导数的运算公式及运算法则，分别求解导函数，根据题意可得，即可求解的值.

【详解】解：因为，所以，其中，

又，所以，其中，

由题意可得，所以，且，所以解得.

故选：D.

7．直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（    ）

A．6 B．2

C．12 D．16

【答案】B

【分析】求出直线过的定点，得到圆心到直线的距离的最大值，从而得到弦长|AB|的最小值.

【详解】因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，

故圆C的圆心C(－3，3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为＝5.

又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为.

故选：B

8．数列及其前n项和为满足：，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据递推关系式，利用累乘法可求得数列通项公式，再结合裂项求和即可求得的值.

【详解】当时，，即

所以

累乘得：，又，所以

所以

则

.

故选：C.

9．已知函数，则关于t的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，判断出利用奇偶性、导数判断出的单调性，由得，再利用奇偶性、单调性解不等式可得答案.

【详解】，令，，所以为奇函数，

因为，所以为单调递增函数，

由得，即，

所以，解得.

故选：A.

10．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由的范围求出的范围，由题意可得，解不等式即可得出答案.

【详解】因为，所以，

要使函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，

所以，解得：.

故选：A.

11．正方体，定点M，N在线段上，满足，动点P在平面内运动（P正方形内，不含边界），且，当三棱锥体积取得最大值时，三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得：点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆在平面的部分，当在短轴的端点时，三棱锥体积最大，求出三棱锥外接球的半径，即可得出答案.

【详解】因为，

而，

又因为在平面内运动，

所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆在平面的部分，

则则点的轨迹的方程为：，

当在短轴的端点时，三棱锥体积最大，

设三棱锥外接球的半径为，

三角形外接圆的半径为，因为，

所以，

则，解得：，

所以

所以三棱锥外接球的表面积为：.

故选：B.

12．双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的离心率为2，得到c=2a，根据过的直线的斜率为，得到，然后分别在和中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】解：因为双曲线的离心率为2，

所以c=2a，

因为过斜率为，所以，

则，

在中，设，则，

由余弦定理得，

解得，则，

同理在中，设，则，

由余弦定理得，

解得，则，则，

所以在中，由余弦定理得，

故选：C

二、填空题

13．已知等比数列的公比成等差数列，则公比____________．

【答案】2

【分析】由等差数列与等比数列的性质列式求解，

【详解】由题意得，

而为等比数列，化简得，而，解得，

故答案为：2

14．实数x，y满足：，则的最大值是____________．

【答案】##

【分析】根据不等式组画出可行域，然后利用的几何意义求最值即可.

【详解】根据不等式画出可行域，如下所示：

设，整理可得，所以表示直线过可行域上一点时的纵截距，

由图可知，当直线过点时，纵截距最大，

联立，解得，所以，代入可得.

故答案为：.

15．已知函数，下列说法中正确的有____________（写出相应的编号）

①：将图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数

②：函数在上的值域为

③：函数在上单调递减

④：，关于x的方程有两个不等实根，则

【答案】④

【分析】根据函数的平移变换可得解析式，结合诱导公式化简即可判断①；根据函数在区间内的单调性结合函数取值情况即可判断②，③，④.

【详解】解：将的图象向左平移个单位长度得函数，函数为偶函数，故①错误；

当，，，故②错误；

当，，则当时单调递减，当时单调递增，故③错误；

当，，则当时单调递增，当时单调递减，又，

关于x的方程有两个不等实根，则，故④正确.

故答案为：④.

16．已知曲线在点处与曲线在点处的切线相同，则______．

【答案】

【分析】求出两切线的切线方程，由两切线方程相同得斜率相等，纵截距相等可得的关系．

【详解】，则，切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，

由得，切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，

于是得，，

则，所以，所以，得．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义．求解本题的关键：（1）根据已知得到（2）知道将中的等式进行相互代换，得到．

三、解答题

17．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：．

(1)求A；

(2)求面积取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用两角和差关系得，即，结合角度范围即可得角A；

（2）根据正弦定理及三角形面积公式转化为关于角的正切函数，根据锐角得角的范围，即可求得面积取值范围．

【详解】（1）解：因为，由正弦定理得：，

因为，

所以，

化简得，所以，

因为，所以，

（2）解：由正弦定理，得

又

，

因为锐角，所以解得，则

所以.

18．图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2．

(1)求证：平面平面；

(2)已知点P为线段上一点，且，求三棱锥体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明，

（2）由棱锥的体积公式求解，

【详解】（1）由题意可知，，因为且，

所以四边形为菱形，连接交于点，则，

在中，，所以，

在图2中，，因为，所以，

又平面，平面.

所以平面，又平面，故平面平面；

（2）平面，所以到面距离为，所以P到面距离为，

，所以

19．小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：）和日均客流量y（单位：百人）的数据，并计算得，，，.

(1)求y关于x的回归直线方程；

(2)已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】(1)

(2)小李应该租的商铺

【分析】（1）由已知条件结合回归直线公式可求出回归直线方程，

（2）根据题意得，，构造函数，利用二次函数的性质可求出其最大值，从而可求出Z的最大值

【详解】（1）由已知可得，，

，

，

所以回归直线方程为.

（2）根据题意得，.

设，令，，

则，

当，即时，取最大值，

又因为k，，所以此时Z也取最大值，

因此，小李应该租的商铺.

20．已知函数，

(1)求极大值；

(2)若恒成立，求k的取值范围．

【答案】(1)0

(2)

【分析】(1)对函数求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，进而求出函数的极大值；

(2)先对函数求导，确定不等式成立的必要条件，再进一步证明不等式成立的充分性即可得证.

【详解】（1）

，单调递减，

，单调递减，

所以极大值为.

（2），

①若，由函数连续性，，当，所以单调递减，，所以单调递减，，与题意矛盾

②所以，即是命题“恒成立的必要条件．

下面证明：是命题“恒成立”的充分条件

即只需要证明：当，不等式恒成立

设，由（1）问，所以在上单调递减，即，

记，

所以单调递增，，

综上

21．如图：椭圆，坐标原点O，椭圆右焦点F，直线l（l斜率存在且不为零）过点F与椭圆交于A，B，中点为M，直线与椭圆交于C，D，

(1)证明：斜率与斜率之积为定值；

(2)若四边形面积为，求l的斜率．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意设直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及中点坐标公式，得点坐标，求得斜率，即可证明斜率关系；

（2）根据（1）中结论得直线的方程，代入椭圆方程，由弦长公式求得，再分别求点到直线的距离，从而可得四边形面积，解方程得的值，即可确定l的斜率．

【详解】（1）由题可知右焦点，设直线，且，设，

则得：，．

所以，

所以，则，

所以.

（2）设，由（1）可知，

与椭圆方程联立得：，，

所以，

设A到直线的距离为，则，

设B到直线的距离为，则，

因为,

则

,

所以四边形面积为，解得，所以，

所以直线或，即或，

则直线的斜率为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．在极坐标系下，曲线E的极坐标方程为：

(1)以极坐标系的极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，求E直角坐标方程，并说明E的轨迹是什么图形；

(2)A，B，C为曲线E上不同的三点，O为极点，，证明：为定值．

【答案】(1)，轨迹为椭圆

(2)证明见解析

【分析】（1）根据极坐标方程直接转化为直角坐标系方程即可，随之可判断曲线的轨迹图形；

（2）根据极坐标方程结合极径的几何意义即可证明结论.

【详解】（1）解：，所以，则

所以，整理得：，轨迹为椭圆.

（2）解：设，

则

所以：

.

即为定值2.

23．已知函数

(1)解不等式：；

(2)，使得成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，画出的图象，即可得出答案；

（2）由（1）可求出值域为，即可求出的值域，再求出的解析式可求出值域，由题意可得与有交集，解方程即可得出答案.

【详解】（1）由题意可得出：，

作出图象，如下图：

易得不等式解集为：

（2）由（1）知，值域为值域为，

则，

所以值域为，

即与有交集，

所以，即．