2023届四川省德阳市成都师范学院德阳高级中学高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届四川省德阳市成都师范学院德阳高级中学高三上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省德阳市成都师范学院德阳高级中学高三上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过解不等式得集合，再进行交集运算即可.【详解】因为，，所以，故选：C.2．若复数​，则​的虚部为（    ）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】D【分析】根据复数的除法运算法则，先化简，进而求出结果.【详解】​，所以​的虚部为​.故选：D.3．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用数量积公式进行计算.【详解】如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为，故则.故选：A.4．展开式中的常数项为（    ）A．60 B．64 C．－160 D．240【答案】A【分析】先得到二项式的通项公式，再令x的指数为0得到项数，从而得到常数项大小．【详解】解：的二项展开式的通项公式为．令，解得，所以展开式的常数项为．故选：A．5．设​，则​的零点所在区间为（    ）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】B【分析】根据函数零点的存在性定理判断.【详解】因为在定义域上为增函数，且，所以​在区间上有唯一的零点.故选：B6．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用倍角公式，将条件代入计算即可.【详解】故选：D.7．已知变量之间的线性回归方程为,且变量之间的一组相关数据如表所示：则下列说法错误的是（    ）681012      632A．变量,之间呈负相关关系 B．C．可以预测,当时, D．该回归直线必过点【答案】B【分析】根据线性回归方程的斜率可判断变量之间的正负相关关系;线性回归方程过,求出的值;将代入线性回归方程中,即可求出预测值;将代入线性回归方程中,即可判断D的正误.【详解】解:由题知线性回归方程为,故选项A正确;,且线性回归方程过,代入中可得,,故选项B错误;将代入线性回归方程中,可得,故选项C正确;将代入中可得,所以回归直线必过点,故选项D正确.故选:B8．函数在上的图象大致是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和特殊值求得正确答案.【详解】，所以是偶函数，图象关于轴对称，排除AB选项.，所以，所以，排除C选项.所以D选项正确.故选：D9．一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（    ）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9【答案】C【分析】设球体的半径，根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了.【详解】设球体的半径为，圆锥底面半径为，高为则圆锥的体积为： 球体的体积：所以圆锥与球的体积之比为：1∶2故选：C.10．函数的图象恒过定点A，若点A在双曲线上，则的最大值为 （    ）A．6 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】设，因为，所以点A的坐标为，又因为点A在双曲线上，所以，因此，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：B11．世界人口在过去​年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（    ）（参考数据​，​）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】A【分析】根据增长型模型的指数表示即可求解.【详解】设40年前人口数为，则现在人口数为，假设每年的增长率为，则经过40年增长人口数为​，即，​， ​，​， ​.故选::A.12．已知等差数列的前项和为，公差，和是函数的极值点，则（       ）A．－38 B．38C．－17 D．17【答案】A【分析】求得函数的导数，令，求得函数的极值点，得到，，结合等差数列的通项公式，列出方程组求得的值，最后利用等差数列的求和公式，即可求求解.【详解】由题意，函数，其中，可得令，解得或，又和是函数的极值点，且公差，所以，，所以，解得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，以及函数的极值的概念及应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及利用函数极值点的概念，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 二、填空题13．已知平面向量​与的夹角为​，，，则​___________.【答案】【分析】根据的坐标得到，然后利用数量积得到，即可得到.【详解】由题得，，，所以.故答案为：.14．已知等比数列的前3项和为，则___________.【答案】3【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得，，即可求得的值.【详解】解：设等比数列的公比为，，由题意，因为前3项和为168，故，又，所以，，则.故答案为：3.15．若实数​，​满足​，则​的最大值是___________.【答案】【分析】首先画出可行域，再根据中的几何意义求最大值.【详解】根据，满足的条件，画出可行域，所以当直线过点A时，取得最大值，由，解得：，故，所以的最大值是.故答案为：16．已知函数​的图象关于直线​对称，则有如下四个命题：①​是奇函数；②​的最小正周期是​；③​的一个对称中心是​；④​的一个递增区间是​.其中所有正确命题的序号是___________.【答案】②④【分析】根据题意可得，进而根据三角函数的性质结合选项即可逐一求解.【详解】由于​的图象关于直线​对称，所以，由，所以​，所以​，令,所以​的对称中心为 ​，令,递增区间为，①,故​是偶函数，①错误；②.​的最小正周期,②正确；③.​的对称中心为,，令无解，所以故③错误；④.由于 ​， 在​单调递增，④正确.故答案为：②④ 三、解答题17．已知等差数列​和等比数列​满足​，​，​.(1)求​的通项公式；(2)求和：​.【答案】(1)(2)和为： 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用，求出，再由等差数列的通项公式计算可得答案；（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，利用求出、，可得是公比为，首项为的等比数列，再由等比数列的前项和公式计算可得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，可得：，解得，所以的通项公式；（2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，由（1）可得，等比数列满足，，由于，可得（舍去），（等比数列奇数项符号相同），所以，则是公比为，首项为的等比数列，.18．某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表： 良好及以下优秀合计男450200650女150100250合计600300900 (1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 其中，．【答案】(1)有；(2)分布列见解析，1. 【分析】（1）利用给定的列联表，求出的观测值，再与临界值比对即可作答.（2）求出任抽1个学生体测结果等级为“优秀”的概率，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列，求出期望作答.【详解】（1）依题意，的观测值，故有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（2）依题意，体测结果等级为“优秀”的概率为，的取值有0，1，2，3，则，，，，则的分布列为：0123P 所以的数学期望．19．的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知，由正弦定理及三角恒等变换，可得，则；（2）由三角形面积解得，再由余弦定理得，∴的周长为．【详解】（1）已知，由正弦定理可得：，整理得：，，，，又，；（2）由余弦定理，得，，，，，，，的周长为．20．若函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减．(1)求函数的解析式；(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出，，由函数单调性，利用导函数求出，确定函数解析式；（2）点不在曲线上，设切点为，根据导函数的几何意义与斜率公式列出方程，得到，设，通过研究其单调性，极值情况，求出的取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，则，故，，又因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，因为，所以，即，解得：，经检验符合题意，所以．（2），因为曲线方程为，，点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满足，因为，故切线的斜率为，整理得：，因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个实根．设，则，由，得，，得或，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以函数的极值点为，，所以关于的方程有三个实根的必要条件是，解得：，又当时，，当时，，所以时，必有三个实根，故所求的实数的取值范围是．【点睛】过函数上某一点的切线条数，转化为函数零点个数问题，构造函数，通过求导研究函数单调性，极值和最值情况，从而解决问题.21．已知函数，.(1)当时，若曲线与直线相切，求k的值；(2)当时，证明：；(3)若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）设切点坐标为，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到；（2）证明即证明，然后求导，利用单调性求最值，即可证明；（3）将不等式转化为，然后构造函数，根据的单调性得到恒成立，即，构造函数，根据的单调性得到，然后代入解不等式即可.【详解】（1）当时，，则，设切点坐标为，则，解得，所以.（2）当时，，定义域为，，令，则，当时，，则在上单调递增，又，所以当时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，则.（3）由题可知，，则不等式恒成立，即，即，即，即在上恒成立，令，易知在上单调递增，所以在上恒成立，即， 令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增，则，所以，解得，所以的取值范围为.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔.22．选修4-4：坐标系与参数方程点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）．    【详解】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为． （Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．设，则，则有．所以，曲线的极坐标方程为． （Ⅱ）到射线的距离为，，则．       23．已知，，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，消元并结合二次函数推理作答.（2）根据给定条件，借助“1”的妙用，计算推理作答.【详解】（1）因为，，，则，，因此，当且仅当，时取等号，所以成立．（2）因，，且，则，因此，当且仅当且，即，时取等号，所以成立．