2023届四川省泸县第四中学高三上学期第三学月考试数学（文）试题（解析版）

2023届四川省泸县第四中学高三上学期第三学月考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数的定义域化简集合，再根据集合交集的定义求解即可.

【详解】由对数函数的定义域可得或，

所以或，

所以，

故选：C.

2．若是纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.

【详解】解：，因为是纯虚数，所以，则.

故选：C．

3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是                                      

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

【答案】D

【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D．

【解析】统计图

【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．

4．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．

【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．

5．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，

因为，

所以排除选项；

当时，有一零点，设为，当时，为减函数，

当时，为增函数．

故选：D.

6．设为等差数列的前项和，，，则

A．-6 B．-4 C．-2 D．2

【答案】A

【详解】由已知得

解得．

故选A．

【解析】等差数列的通项公式和前项和公式．

7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为、，两次抛掷得到的结果可以用表示，

则结果有，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

共有36种．

其中满足有：，，，，，，，，，，，，，共种，

所以满足的概率．

故选：B

8．已知，，则（    ）

A． B．

C．​ D．

【答案】B

【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解.

【详解】​​，即​，

​，

​，​，即​，

则​，

故选：B

9．设函数，，“是偶函数”是“的图象关于原点对称”

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）＝x2．

【详解】“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．

反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．

因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度与时间的函数关系式为，其中为介质温度，为物体初始温度．为了估计函数中参数的值，某试验小组在介质温度和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数的值，如下表，

现取其平均值作为参数的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（    ）（结果精确到个位数）

参考数据：，，．A．3min，9min B．3min，8min

C．2min，8min D．2min，9min

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出参数的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答.

【详解】依题意，，而，，

则，

当时，，有，，

当时，，有，，

所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min，9min.

故选：A

11．中已知且，则（   ）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

【答案】B

【分析】根据进行化简整理即可求得的值.

【详解】由题意得，则有

整理得：，

故选：B

12．已知，则x､y､z的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出，再由，可比较出与的大小即可得出的大小关系.

【详解】，

，

即，

，而，

，又，

，

综上，，

故选：D

二、填空题

13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.

【答案】

【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.

【详解】观察两个小孩的性别，用表示男孩，表示女孩，则样本空间 ，且所有样本点是等可能的.用表示事件“选择的家庭中有女孩”，表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则,.

“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为.此时成为样本空间，事件就是积事件.根据古典概型知识可知，.

故答案为：

14．某学生在研究函数时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数后得到一个新函数，此时除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③.写出一个符合条件的函数解析式__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由题意可知为常函数或为偶函数，然后分别令或进行验证即可

【详解】因为为奇函数，为奇函数，

所以为常函数或为偶函数，

当时，，则，

此时，

所以 不合题意，

当时，，

因为，

所以为奇函数，

，由，得或，由，得，所以的增区间为和，减区间为，所以为先增后减再增，

因为，

所以满足题意，

故答案为：（答案不唯一）

15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.

【答案】

【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果.

【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，

如图

故所求几何体的体积

即.

故答案为：

【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.

16．已知函数的部分图像如图所示，则满足的最小正整数x的值为_______．

【答案】1

【分析】先根据图像求得，再解求得最小正整数x．

【详解】解：由题意得函数f（x）的最小正周期，

解得，

所以．

又，

所以，

即，

所以，

解得．

由，得，

所以，

所以．

由，

可得，

则或，

即或．

① 由，

可得，

解得，

此时正整数x的最小值为2；

② 由，

可得，

解得，

此时正整数x的最小值为1．

综上所述，满足条件的正整数x的最小值为1．

故答案为：1．

三、解答题

17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．

(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；

(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．

（ⅰ）将列联表填写完整；

（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？

附：．

【答案】(1)73.8

(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.

【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；

（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.

【详解】（1）由频率分布直方图可知：，

解得．

所以平均分的估计值为，

故受奖励的分数线的估计值为73.8．

（2）（ⅰ）列联表如下表所示．

（ⅱ）由列联表得，

所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．

18．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，且.

(1)证明：平面；

(2)求四面体的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得平面，平面，再由面面平行的判定可得平面平面，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在取点使得，连结，则可得四边形是平行四边形，再结合已知条件可得四边形是平行四边形，则，由线面平行的判定可得结论；

（2）由求解，根据已知条件求出和，从而可求出其体积.

【详解】（1）证明：

方法一：

由正方形的性质得：∥.

又平面平面，

平面.

平面平面，

平面.

平面，

平面平面，

平面，

平面，

方法二：

在取点使得，连结，如图

，

四边形是平行四边形，

故，且，

又，

，

四边形是平行四边形，

.

又平面平面，

平面，

（2）由体积的性质知：，

平面平面，平面平面，

平面，

平面.

又，

故点到平面的距离为2，即三棱锥底面上的高，

由题意，知且，

，

19．已知数列的前项和为，且对任意的有.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；

（2）求得，利用分组求和法可求得.

【详解】（1）证明：当时，，则；.

当时，由可得.

两式相减得，即，.

因为，则，，以此类推可知，对任意的，，

所以，数列构成首项为，公比为的等比数列.

（2）解：由（1），故，则.

所以，

.

20．已知椭圆C：的离心率为，且过点．

(1)求C的方程；

(2)若A，B是C上两点，直线与曲线相切，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.

（2）对直线的斜率分成不存在，，三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得的取值范围.

【详解】（1）依题意.

所以椭圆的方程为.

（2）圆的圆心为，半径.

当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，

，，

所以.

当直线的斜率为时，直线的方程为或，

，，

所以.

当直线的斜率时，设直线的方程为，

由于直线和圆相切，所以.

，消去并化简得，

.

设则，

所以

.

另一方面，由于，当且仅当时等号成立.

所以，即.

综上所述，的取值范围是.

21．已知函数

(1)若，求的极小值

(2)讨论函数的单调性；

(3)当时，证明：有且只有2个零点.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数求得的极小值.

（2）先求得，然后通过构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，从而求得函数的单调区间.

（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.

【详解】（1）当时，，的定义域为，

，

所以在区间递减；在区间递增.

所以当时，取得极小值.

（2）的定义域为，

.

令，

当时，恒成立，所以即在上递增.

当时，在区间即递减；

在区间即递增.

（3）当时，，，

由（2）知，在上递增，，

所以存在使得，即.

在区间递减；在区间递增.

所以当时，取得极小值也即是最小值为，

由于，所以.

，

，

根据零点存在性定理可知在区间和各有个零点，

所以有个零点.

【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决.

22．在直角坐标系中，点是曲线：上的动点，满足的点的轨迹是.

（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线，的极坐标方程；

（2）直线的参数方程是(为参数)，点的直角坐标是，若直线与曲线交于，两点，当线段，，成等比数列时，求的值.

【答案】（1）：，：；（2）.

【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．

【详解】解：（1）点是曲线：上的动点，

根据，转换为极坐标方程为，

由于点满足的点的轨迹是.

所以，则的极坐标方程为.

（2）直线的参数方程是(为参数)，点的直角坐标是，

若直线与曲线交于，两点，

的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，即，

得到，

化简得：，

所以，，

当线段，，成等比数列时，

则，

整理得：，

故，

整理得.

23．已知，，，且.

(1)求证：；

(2)若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）对应用基本不等式可证；

（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解．

【详解】（1）

，

所以，当且仅当时等号成立

（2）由（1）可知对一切实数，，恒成立，

等价于，

令，

当时，，

当时，，舍去，

当时，，即或.

综上所述，取值范围为.