2023届四川省泸州市泸县第一中学高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届四川省泸州市泸县第一中学高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先解出集合A、B，再求．
【详解】集合，，
所以．
故选：A．
2．若复数z在复平面内对应的点为，则其共轭复数的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可求解
【详解】复数z在复平面内对应的点为，可得，所以，共轭复数，共轭复数的虚部是
故选：D
3．耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中的值为0.004
B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为84分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
【答案】C
【分析】根据学生的成绩在50分至100分之间的频率和为1可求得 的值，就可以判断A；计算成绩在区间的学生频率，然后计算在该区间的学生数，以此判断B；
按照频率分布直方图中平均数算法计算可判断C，按照频率分布直方图中百分位数的计算方法计算可判断D
【详解】由直方图可得： ，解得 ，故A错误，
在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为人，故B错误
估计全校学生的平均成绩为分，故C正确
全校学生成绩的样本数据的 分位数约为分，故D错误
故选：C
4．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.
【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，
当时，，故排除A，只有C满足条件.
故选：C
5．的展开式中的常数项为（ ）
A．64B．-64
C．84D．-84
【答案】D
【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数等于零，即可得出答案.
【详解】解：的二项展开式的通项为：
，
令，则，
所以，
即的展开式中的常数项为84.
故选：D.
6．若向量，且，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】依据向量数量积的定义去求的值
【详解】
则
故选：C
7．已知，实数满足对于任意的，都有，若，则实数a的值为（ ）
A．B．3
C．D．
【答案】D
【分析】由题得是的一个极大值点，化简即得解.
【详解】解：由题意及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点，
由，得.
故选：D.
8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由圆，得到圆心C（1，2），又P（-1，0）
则所求圆的圆心坐标为（0，1），
圆的半径r=，
所以过A、B、C的圆方程为：
【解析】圆的标准方程
9．志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．240种B．408种C．1092种D．1120种
【答案】B
【分析】首先安排除甲乙丙外的3名志愿者，再分两类：乙丙中间不恰好为甲、乙丙中间恰好为甲分别求安排方案数，最后加总即可.
【详解】1、将安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有种，再分两类讨论：
第一类：
2、安排不相邻的乙丙，相当于将2个球在3个球所形成的4个空中任选2个插入有种，
3、安排不在第一天的甲，相当于5个球所成的后5个空中任选一个插入，有种，
第二类：
2、将甲安排在乙丙中间有种，
3、把甲乙丙作为整体安排，相当于将1个球插入3个球所形成的4个空中有种，
所以不同的方案有(种.
故选：B
10．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于AB两点，若以线段AB为直径的圆与直线相切，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】联立直线方程和抛物线方程，再由韦达定理即可求解.
【详解】解：设，AB中点为,又直线过F(0，1),
由题意可知直线斜率存在，故可设直线方程为：，
联立得，，
由韦达定理得，，所以,
所以
所以，
又以线段AB为直径的圆与直线相切，所以，
即，解得，，
故选：C.
11．古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直.若动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，则动点M在直线之间的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【分析】根据题意得到三条直线的关系，不妨设记为，直线为，为，进而可根据条件表示出动点M的轨迹方程，从而得出结论.
【详解】因为在平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直，所以，平行，又因为动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，记为，直线为，为，
设，且动点M在直线之间，所以M到的距离为，M到的距离为，M到的距离为， 所以，
若，则；若，则，
所以，即，故动点M的轨迹为圆.
故选：A.
12．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】当时，，分、两类讨论，可求得；当时，，分、两类讨论，可求得；取其公共部分即可得到答案．
【详解】解：（1）当时，，
的对称轴为，开口向上．
当时，在递减，递增，
当时，有最小值，即，；
当时，在上递减，
当时，有最小值，即（1），
显然成立，此时．
综上得，；
（2）当时，，，
当时，在上递增，
（1），，此时；
当时，在递减，递增，
，，
此时．
综上：，
关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．
二、填空题
13．在平面直角坐标系下，若x，y满足约束条件，则的最小值为__________.
【答案】1
【分析】由约束条件作出可行域，当直线过点时，相应坐标值代入求得最小值.
【详解】由约束条件作出可行域如图：

联立，解得.令，
由图可知，当直线过点时，
z有最小值为1，即的最小值为1，
故答案为：1.
14．曲线在点处的切线方程为________．
【答案】（或）
【分析】先求导数，代入可得切线斜率，结合点斜式可得切线方程.
【详解】，当时，，则所求切线方程为，即．
【点睛】本题主要考查利用导数求解曲线的切线方程，切点处的导数值是切线的斜率，是求解关键.
15．已知定义在上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则__．
【答案】#
【分析】根据题意，结合所以，即可求解.
【详解】因为函数是奇函数，对任意的，都有，
且当时，
所以.
故答案为：.
16．如图，直角三角形中，斜边边上的垂直平分线交于，交于，现沿折成一个三视图如下的四棱锥，则在四棱锥中，给出下列判断：
①；②平面平面；
③；
④四棱锥的外接球表面积为.
其中正确的判断有______.
【答案】①②④
【分析】由三视图可知，平面；根据线面垂直判定定理，可证明平面，所以②正确；由四棱锥的体积公式计算可知③错；四棱锥的外接球等价于以、、为棱的长方体的外接球，可找到半径计算球的表面积，④正确.
【详解】由三视图可知平面，所以又所以平面，可证所以①正确；由三视图可知，所以，，所以平面，所以②正确；所以③错；四棱锥的外接球等价于以、、为棱的长方体的外接球，可得：，∴，从而，所以④正确.
故答案为①②④.
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查线线垂直、面面垂直的证明，考查几何体体积公式和外接球的表面积，考察了学生的空间想象能力，属于中档题.
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求角A；
(2)若点D在边AC上，且，求△BCD面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式，诱导公式变形可求得；
（2）由平面向量的线性运算求得，，用余弦定理及基本不等式求得的最大值，可得面积的最大值，从而得结论．
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，即，
三角形中，所以，而，所以；
（2）由得，，所以，，
在中由余弦定理，即，当且仅当时等号成立，
所以，，
所以△BCD面积的最大值为．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠D=60°，E为CD的中点，且AE=CE，现将平行四边形沿AE折叠成四棱锥P-ABCE.
（1）已知为的中点，求证：.
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取AE中点N，连结EM，MN，证明面PMN，即可证明；
（2）先证明，又，，可以以N为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】（1）证明：
取AE中点N，连结EM，MN，由于翻折前E为CD中点，∴.
∵,∴△ADE为等边三角形，
∵N为AE中点，∴.
同理可证：△AME为等边三角形，故.
又，
∴面PMN，
∴.
（2）因为平面平面且交于AE，，所以平面，
而平面,所以，又，，
可以以N为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
不妨设AB=4，则，
，所以，
设为平面EPC的一个法向量，则,即，
不妨设，则.
同理可求：平面EPB的一个法向量
设二面角的平面角为，显然，
所以，
即二面角的余弦值为
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．
19．在某电视台举行的跑男节目中，某次游戏比赛分二个阶段，只有上一阶段的通过者，才能继续参加下一阶段的比赛，否则就被淘汰，每组选手每通过一个阶段，本组积分加10分，否则为0分，甲、乙两组明星选手参加了这次游戏比赛，已知甲组选手每个阶段通过的概率均为，乙组选手每个阶段通过的概率均为.
（1）求甲、乙两组选手都取得10分就被淘汰的概率；
（2）设甲、乙两组选手的最后积分之和为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）甲、乙两组选手都取得10分就被淘汰，则都只通过第一阶段，在第二阶段都被淘汰，又甲、乙两组选手相互独立，所以为独立事件同时发生的概率，由此求出取得10分就被淘汰的概率. （2）由题意知所有可能取值为0，10，20，30，40，依次求出相应的概率，由此求出的分布列和数学期望.
【详解】（1）记“甲、乙两组选手都取得10分就被淘汰”为事件，
则.
（2）所有可能取值为0，10，20，30，40，
且，
，
，
，
，
则的分布列为：
∴的数学期望：.
【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
20．已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出椭圆方程，设直线的方程为，设直线的方程为，设，由，求得，从而可求得，同理求得，从而可求得，即可得解；
（2）设，由，得，代入椭圆的方程，可求得，同理可求得，从而可得出答案.
【详解】（1）解：由已知过点，得，①
由，②
由①、②，得，
故椭圆C的方程为，
若，
设直线的方程为，设直线的方程为，设，
由，得，解得，
故，
同理，，
，则，，
故直线的方程为；
（2）解：设，
由，得，
故，
代入椭圆的方程得（3），
又由，得，
代入（3）式得，，
化简得，，即，
显然，故，
同理可得，
故，
所以的最小值．
21．已知函数，.
（1）若方程存在两个不等的实根，，求a的取值范围；
（2）满足（1）问的条件下，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）将，转化为，即函数T(x)＝与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点求解；另解：求导，分 ，讨论求解；
(2)根据x1，x2是ln x－ax＋1＝0的两个根，得到a＝， 将证x1x2>1，即ln x1＋ln x2>0，转化为证>，进而转化为ln<＝.，令t＝∈(0，1)，转化为证明ln t －.
【详解】（1）由题意，，可得，
转化为函数T(x)＝与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点，
T′(x)＝ (x>0)，
故当x∈(0，1)时，T′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，T′(x)<0，
故T(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以T(x)max＝T(1)＝1.
又，故当x∈时，T(x)<0，当x∈时，T(x)>0.
可得a∈(0，1).
另解：则：，
①当时，恒成立，不满足题意；
②当时，单调递减，
则，当

综上：
(2)证明： ， 因为x1，x2是ln x－ax＋1＝0的两个根，
故ln x1－ax1＋1＝0，ln x2－ax2＋1＝0⇒a＝，
要证h′(x1x2)<1－a，
只需证x1x2>1，即证ln x1＋ln x2>0，即证(ax1－1)＋(ax2－1)>0，
即只需证明 成立，即证>.
不妨设0令t＝∈(0，1)，φ(t)＝ln t－，
φ′(t)＝－＝>0，
则h(t)在(0，1)上单调递增，则φ(t)< φ(1)＝0，
故（*）式成立，即要证不等式得证.
【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值．
【答案】(1) ；.(2)18.
【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得出直线和曲线的直角坐标方程；
（2）先由题意得直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，根据参数的方法求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为直线，故.
即直线的直角坐标方程为.
因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即.
（2）设直线的参数方程为 （ 为参数）
将其代入曲线的直角坐标系方程得.
设对应的参数分别为，，则，
所以 .
【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数的方法求两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型.
23．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）将写成分段函数的形式,即,进而求解即可；
（2）不等式在时恒成立可转化为恒成立,进而求解即可
【详解】解：（1）,
由,
则,或,或,
解得或或,
故解集为
（2）依题意得,不等式在时恒成立,则,
当时,,则在上单调递增,
所以,
则,解得
【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查不等式的恒成立问题,考查运算能力与转化思想
0
10
20
30
40