2023届天津市新华中学高三上学期12月第二次月考数学试题（解析版）

2023届天津市新华中学高三上学期12月第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用补集和交集的定义可求得.

【详解】由已知条件可得，，因此，.

故选：B.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.

【详解】由，可得，即；

由，可得或，即；

∴是的真子集，

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

3．函数在的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性，可判断A；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断,可得答案.

【详解】由题意函数，，

则，故为奇函数，

其图像关于原点对称，故A错误；

又因为，,可判断B错误，

，故错误，

只有D中图像符合题意，故D正确，

故选：D

4．已知l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α

B．若m∥β，n∥β，且m，n⊂α，则α∥β

C．若m∥n，n⊂α，则m∥α

D．若l⊥β，l⊂α，则α⊥β

【答案】D

【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系有关知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】对于A：若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，若m和n为相交直线，才有l⊥α，故A错误；

对于B：若m∥β，n∥β，且m和n为相交直线，m，n⊂α，才有α∥β，故B错误；

对于C：若m∥n，m⊄α，且n⊂α，才有m∥α，故C错误；

对于D：若l⊥β，l⊂α，根据面面垂直的判定，则α⊥β，故D正确；

故选：D．

5．已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由偶函数的性质可得出函数在区间上为减函数，由对数的性质可得出由偶函数的性质得出，比较出、、的大小关系，再利用函数在区间上的单调性可得出的大小关系.

【详解】，则函数为偶函数，

∵函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数，

，由换底公式得，由函数的性质可得，

对数函数在上为增函数，则，

指数函数为增函数，则，即，

，因此，.

故选：B．

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

6．设，，都是正数，且，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算法则计算可得.

【详解】解：由，，都是正数，令，则，，，

所以，，，

对于A：，故A错误；

对于B：，，

所以，故B正确；

对于C：，

所以，故C错误；

对于D：，

所以，故D错误；

故选：B．

7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（    ）

A．8π B．9π C．10π D．11π

【答案】A

【解析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．

【详解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：

BC，

∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB的中点，

设三角形ABC的外接圆的半径为r，则r1，

又，

所以V柱＝S△ABC•AA1，所以可得AA1＝2，

因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，

所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，

设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2，

所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π，

故选：A．

【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．

8．已知图象相邻的两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，给出下列命题：

①函数的图象关于直线对称；

②函数在上单调递增；

③函数的图象关于点对称.

其中正确的命题个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦型函数的基本性质以及函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①③的正误，利用正弦型函数的单调性可判断②的正误.

【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，可得，则，

将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，

由于函数的图象关于轴对称，则，解得，

，，所以，.

对于①，，

所以，函数的图象关于直线对称，①正确；

对于②，当时，，

所以，函数在上不单调，②错误；

对于③，，

所以，函数的图象关于点对称，③正确.

故选：C.

【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：

（1）将函数解析式变形为或的形式；

（2）将看成一个整体；

（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.

9．已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】令，由可得，可转化为直线与函数的图象有三个交点，考查直线与曲线和曲线相切的临界位置，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.

【详解】令，由可得，

则直线与函数的图象有三个交点，

如下图所示：

当直线与曲线在相切时，

由，整理得，所以，，

解得.

当直线与曲线在时相切，

由整理得，所以，，

解得.

由图象可知，当或时，直线与曲线有三个交点，因此，实数的取值范围是.

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解答的关键就是要分析出直线与曲线相切这一临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.

二、填空题

10．已知复数，则复数z的共轭复数_________

【答案】

【分析】由题意结合复数的除法运算可得，再由共轭复数的概念即可得解.

【详解】由题意，

所以复数z的共轭复数.

故答案为：.

【点睛】本题考查了复数的运算及共轭复数的概念，考查了运算求解能力，属于基础题.

11．已知数列{an}满足，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为______________.

【答案】12或13

【分析】取得最大值时满足，求解不等式组即可.

【详解】令，又，所以或13，

即当或13时，取得最大值.

故答案为：或13

【点睛】本题考查等差数列前n项和的最值，属于基础题.

12．过点，倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为_________

【答案】；

【分析】首先根据题意写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再利用计算弦长即可.

【详解】由题知：直线，即，

圆，圆心，半径.

圆心到直线的距离.

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查直线与圆截得弦长问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题.

13．设双曲线（，）的两条渐近线分别为，，左焦点为．若关于直线的对称点在上，则双曲线的离心率为__________．

【答案】2

【解析】设，，点，，由PF与垂直得到，的中点在上可得，代入结合可得答案.

【详解】不妨设，，点，，

因为，则，即，

因为的中点在上，

则，即．所以，

即，所以，

故答案为：2．

14．设，且，则的最小值是__________.

【答案】

【分析】令，，将变形整理成，再利用基本不等式即可求解.

【详解】令，，则，，

因为，则有，

所以

当且仅当，即时取等号，则分别等于时，的最小值是.

故答案为：.

三、双空题

15．在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____．

【答案】          ．

【分析】以为基底，将用基底表示，根据已知结合向量的数量积运算律，可求出；设用基底表示，求出关于的二次函数，即可求出其最小值.

【详解】为的中点，，

，，，

，

，

；

设，

，

，

时，取得最小值为.

故答案为：；.

【点睛】本题考查向量基本定理、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.

四、解答题

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC．

(1)求角C的大小；

(2)若cosA=，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，由此求得.

（2）先求得，结合两角差的正弦公式求得.

【详解】（1），

，即，

，

，.

（2）由，可得，

.

17．如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，，·

（1）求证：平面.

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

（3）若点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得二面角的余弦值为.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）位于点.

【分析】建立空间直角坐标系.

（1）求出平面的法向量，再根据数量积的运算即可证明；

（2）利用夹角公式可求得；

（3）设，再求平面的法向量，利用夹角公式可求得建立方程可求得结果.

【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

（1）证明：，，，

设平面的法向量为，则

∵，令得，

∴，又平面，

∴平面.

（2），，

∴，

设异面直线与所成角为.则，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

（3）设，则，

设平面的法向量为，则，

∴，令得，

，

解得或（舍）.

∴当位于点时，二面角的余弦值为.

18．已知椭圆过点，且离心率为

（1）求椭圆的方程；

（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）方程为y=0或.

【解析】（1）将点代入椭圆方程，由，结合，可得，即可求解.

（2）讨论直线斜率或斜率时，将直线与椭圆方程联立，求出交点，设，可得，再将的垂直平分线方程与椭圆联立，求出，求出，根据即可求解.

【详解】（1）由题，解得，，，∴椭圆的方程为

（2）由题，当的斜率时，此时，

直线与轴的交点满足题意；

当的斜率时，设直线，

与椭圆联立得，，

设，则，，

又的垂直平分线方程为，由，解得，

，，∵为等边三角形，

，即，

解得(舍去)，，∴直线的方程为

综上可知，直线的方程为y=0或.

【点睛】关键点点睛：将直线方程联立，关键求出，由的形状，列出等式，此题要求有较高的计算求解能力，难度较大.

19．已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列.

(1)求数列和的通项公式.

(2)记，求数列的前项和.

(3)求.

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）首先根据与的关系得到，再根据等比数列的性质即可得到.

（2）首先根据题意得到，再分类讨论求解即可.

（3）利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）当时，，解得.

当时，，

所以，

即是以首先，公比为的等比数列，即.

因为，成等比数列，

所以，即，解得.

所以.

（2）由（1）知：.

当为偶数时，

当为奇数时，

所以.

（3），

因为，

设，前项和为，

则，

，

.

所以

20．已知函数，，.

（1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；

（2）讨论的单调性；

（3）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，，证明：.

【答案】（1）（2）当时，在上为增函数；当时，在上递减，在上递增（3）证明见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义可得结果；

（2）求导后，分类讨论，利用导数的符号可得结果；

（3）不妨设，由求出，将不等式化为，令，转化为证明，然后构造函数，利用导数知识可证不等式成立.

【详解】（1）因为，所以，

依题意可得，得.

（2），

当时，在上恒成立，所以在上为增函数；

当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增.

综上所述：当时，在上为增函数；

当时，在上递减，在上递增.

（3）因为关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，，

所以，即在区间上有两个不相等的实数根，，不妨设，

所以，

所以，

所以，

要证，即证，

因为，所以，所以，

所以只需证，

即要证，

令，因为，所以，

所以只需证，

令，

则，

所以在上单调递增，所以，即，

所以.

【点睛】关键点点睛：第（3）问中，求出是第一个关键点，将所证不等式转化为是第二个关键点.