北京市2023年九年级中考数学一轮复习——二次函数和反比例函数 练习题(解析版)

这是一份北京市2023年九年级中考数学一轮复习——二次函数和反比例函数 练习题(解析版)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——二次函数和反比例函数 练习题

一、单选题
1．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
2．（2022·北京市燕山教研中心一模）线段．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点B，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ）

A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
3．（2022·北京房山·一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（    ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
4．（2022·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（），如果点A（，），B（m，）和C（，）均在该抛物线上，且总有，结合图象，可知m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京市第十九中学三模）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②，所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当在一定范围内变化时，和S都随的变化而变化，则与，S与满足的函数关系分别是（    ）

A．反比例函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
6．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，一个边长为的正方形，把它的边延长得到一个新的正方形，周长增加了，面积增加了．当x在一定范围内变化时，和，都随x的变化而变化，则与x，与x满足的函数关系分别是（    ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
7．（2022·北京石景山·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

…
﹣1
0
1
3
…

…
0
﹣1.5
﹣2
0
…
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式
②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2
④若y>0，则x>3
其中所有正确的结论为（    ）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
8．（2022·北京门头沟·一模）如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，那么与．与满足的函数关系分别是（   ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
9．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是延长线上的一点，且BE＝DF，四边形AEGF是矩形，设BE的长为x，AE的长为y，矩形AEGF的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题
10．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1，−4)，则b的值为______．
15．（2022·北京朝阳·模拟预测）将直线y＝2x向下平移3个单位长度后，得到的直线经过点（m+2，﹣5），则m的值为 _____．
16．（2022·北京门头沟·二模）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．
17．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，、分别为、轴上的点，已知矩形的面积为，函数与边交于点，试写出一个符合条件的的值：______．

18．（2022·北京房山·二模）已知点在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是__________．（只需写出符合条件的一个的值）
19．（2022·北京平谷·二模）若反比例函数经过点和点，则___________．
20．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点在双曲线上，则______（填“＞”或“＜”）．

三、解答题
21．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为
(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
22．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．

某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“0，则x>3或x0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
∴>．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
11．
【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
【详解】解：把点代入反比例函数得：，
∴，解得：，
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
12．0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
13．（答案不唯一）
【分析】对于二次函数，开口向下，则；对称轴为轴，则，写出一个符合上述条件的二次函数即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为．
抛物线的开口向下，对称轴为轴，
，且，
符合条件的抛物线的解析式可以是．
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数中、、的意义是解决此类题的关键．
14．6
【分析】根据平移规律和待定系数法确定函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵平移后，设新抛物线的表达式为y=2x2-b，
∴新抛物线经过点（1，-4），
∴将x=1，y=-4代入得：-4=2×12-b，
∴b=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
15．-3
【分析】由平移的规律可求得平移后的直线解析式，代入点（m＋2，−5）直接求得答案．
【详解】解：直线y＝2x向下平移3个单位长度后的函数解析式是y＝2x﹣3，
把x＝m+2，y＝﹣5代入y＝2x﹣3，可得：2（m+2）﹣3＝﹣5，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
16．y=x2-1．
【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．
【详解】解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x2-1．
故答案为：y=x2-1．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
17．（答案不唯一）
【分析】根据过点的反比例函数解析式写出答案即可．
【详解】解：如图：

当双曲线经过点时，．
当双曲线于边相交时，，
不妨取，
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解的几何意义及对双曲线位置的作用是求解本题的关键．
18．－1（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且，－2＜－1＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
故答案为：－1（答案不唯一）
【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解答的关键．
19．
【分析】根据点在函数图像上的性质吗，直接将点的坐标代入表达式求解即可．
【详解】解：反比例函数经过点和点，
，即，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握图像经过点就是点的坐标满足表达式是解决问题的关键．
20．>
【分析】根据反比例函数的性质，k=3>0，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k=3>0，
∴y随x的增大而减小，
∵．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
21．(1)（0，2）；2
(2)的取值范围为，的取值范围为

【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
（1）
解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴对称，
∴；
（2）
解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22．(1)23.20 m；
(2)

【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
∴，，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当时，，代入得：
，解得：，
∴函数关系关系式为：．
（2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，
解得：或，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，
第二次训练时，，
解得：或，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键．
23．（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；
（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为；
（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：
①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；
②当时，
∵抛物线始终过定点，
∴此时抛物线的对称轴的范围为，
∵点在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，
∵，开口向上，
∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
24．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，在函数中，
∵,
∴函数在中，随的增大而减小；
∵，
∴对称轴为：，
∴在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：

（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
∴在中，有
当时，，
∴m的最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
25．（1）；（2）
【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；
（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=c，
即抛物线必过（0，c），
∵，抛物线的对称轴为，
∴点M，N关于对称，
又∵，
∴，；
（2）由题意知，a＞0，
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴为，
∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立
情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立
情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即
解得，
∴3≥2t，
∴
综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想．
26．(1)
(2)①6；②且

【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）①将点坐标代入解析式即可；
②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围．
（1）
解：将点，代入一次函数解析式；
得，
解得，
一次函数解析式：；
（2）
解：①将点代入反比例函数解析式，
得．
②当时，，
，
满足条件的的取值范围是：且．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．
27．(1)
(2)，
(3)当或时，

【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可求，代入反比例函数解析式可求，即可求解；
（2）由题意可得点为原点，可求，代入方程可求解；
（3）分类讨论求解，分当时与当两种情况求解，当 时，三角形想似，可求出点的坐标，代入一次函数可得，再利用数形结合思想可得答案，．
（1）
解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点．
，
，
点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）
解：当时，则点是的中点，
点为原点，
，
，
方程化为：，
，；
（3）
解：如图，当时，过点作轴，过点作于，过点作于，

当时，
∵轴，，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
将点代入，
，
根据图象可知，当时，，
如图，当时，过点作轴于N，过点作轴

当时，AB=AC，即点A是BC的中点，
∵轴，轴，
∴，
∵，
，
，
，
，
将点代入，
，
根据图象可知，当时，，
综上，当或时，．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题、函数图象上点的坐标的特征、函数与方程的关系以及相似三角形的判定与性质，找到临界状态时的值是解决问题的关键，同时渗透了数形结合的思想．
28．(1)
(2)3
(3)或

【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）由二次函数的对称性及可得点，坐标，进而求解；
（3）由点坐标及抛物线对称轴可得点关于对称轴的对称点的坐标，由抛物线开口向上和点在抛物线对称轴的右边可分情况求解．
（1）
解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）
解：点，关于抛物线对称轴对称，，对称轴为直线，
抛物线经过，，
将代入得；
（3）
解：点关于抛物线对称轴的对称点的坐标为，
，
∴抛物线开口向上，
∵点在抛物线对称轴的右边，
当或时，有，
解得或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．
29．(1)见解析
(2)1.5
(3)公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到米才能符合要求

【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
（1）
解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：

（2）
解：根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5；
（3）
解：根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节1.1米，
（米），
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到1.6米才能符合要求．
【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．