北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题(解析版)

这是一份北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题(解析版)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题

一、单选题
1．（2022·北京石景山·一模）如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（    ）

A． B．2 C． D．1
2．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（    ）

A． B． C．6 D．12
3．（2022·北京房山·一模）将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是(　　)

A．cm B．2cm C．4cm D．cm
4．（2022·北京·清华附中一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB等于（　　）

A． B． C． D．
5．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（2020·北京昌平·二模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（   ）

A．B． C． D．
7．（2020·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）

A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
8．（2020·北京市第三十五中学模拟预测）把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．不变
9．（2020·北京市第一零一中学温泉校区一模）某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（　　）

A．200 米 B．（200+200）米
C．600 米 D．（200+20）米
10．（2020·北京·北外附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）

A． B．2 C．5 D．10

二、填空题
11．（2022·北京门头沟·一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为________分钟．
  
12．（2022·北京市第七中学一模）如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 _____ ．

13．（2022·北京朝阳·模拟预测）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______．（结果保留根号）

14．（2022·北京一七一中一模）在如图所示的正方形网格中，∠1__∠2．（填“＞”，“＝”，“＜”）

15．（2022·北京·清华附中一模）2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝_____（m）．

16．（2021·北京·101中学三模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 __________________．

17．（2021·北京朝阳·二模）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD=100m，则这栋建筑物的高度BC约为_____m（，结果保留整数）．

18．（2021·北京石景山·一模）如图，小石同学在两点分别测得某建筑物上条幅两端两点的仰角均为，若点在同一直线上，两点间距离为3米，则条幅的高为_________米（结果可以保留根号）

三、解答题
19．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求和的长．
20．（2021·北京·中考真题）计算：．
21．（2020·北京·中考真题）计算：
22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当，，求的值．
23．（2022·北京市第十九中学三模）如图，在四边形中，，，点在延长线上，与交于点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，，求和的长．
24．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形中，，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
25．（2022·北京朝阳·二模）计算．
26．（2022·北京平谷·二模）如图，在□中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．

(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；
(2)若，，，连接GF，求GF的长．
27．（2022·北京丰台·二模）计算：
28．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．

(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求AC的长．
29．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．

参考答案：
1．D
【分析】先根据三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出，再，最后根据全等三角形的性质求出DE的长．
【详解】解：△ABC中，，，，
，
，
，
，
，，
， ，
，

，
，
又，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键．
2．B
【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案．
【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟，
∴AB=1×6=6，
∵，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6，
当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系，
当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，
∴a对应动点Q和点C重合，如图：
∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点C作，交于点E ，

∴，
∴，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．
3．A
【分析】由图中条件可知纸片重叠部分的三角形ABO是等边三角形，此三角形的高是AM=2，求边长，利用锐角三角函数可求．
【详解】解：如图，

作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足为M、N，
∵长方形纸条的宽为2cm，
∴AM=BN=2cm，
∴OB=OA，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
在Rt△ABN中，AB===cm．
故选A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO，有一定难度．
4．A
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴sinB=
故选A．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
5．C
【详解】分析：先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
详解：设圆锥的母线长为R，由题意得
　15π=π×3×R，解得R=5，
∴圆锥的高为4，
∴sin∠ABC=．
故选C．
点睛：本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．
6．A
【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．
【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．
∵ME⊥AB，，
∴是直角三角形，，，，
∵，
∴，．
又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键．
7．D
【分析】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，cosα的大小．当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．判断sinα，cosα的大小即可解决问题．
【详解】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．

∵sinα=，cosα=，OP＞PM，
∴sinα＜cosα，
同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，
如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．

∵sinα=，cosα=，OJ＜MJ，
∴sinα＞cosα，
同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，
故选：D．
【点睛】考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．D
【分析】根据相似三角形的性质解答．
【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
9．B
【分析】在Rt△ACD中，由tan∠A＝，可知（米），在Rt△BCD中，由∠B＝45°知BD＝CD＝200米，根据AB＝AD+BD可得答案．
【详解】解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，
在Rt△ACD中，∵tan∠A＝，
∴（米），
在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，
∴BD＝CD＝200米，
∴AB＝AD+BD＝200+200（米），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题是解题的关键.
10．C
【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，
故选C．
点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
11．12
【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．
【详解】解：如下图所示，

根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，
∴CE=ED-CD=34-12=22，
∴OE=OC-CE=44-22=22，
在直角三角形OEF中，sin∠OFE==，
∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，
∴∠FOB=120°，
∴，
∵圆转动的速度为，
∴最佳观赏时长为÷=12（分钟），
故答案为：12．
【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数．
12．
【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得，根据得，求出，得出，利用和勾股定理即可得的长．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
设的长是x，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去负值），
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
13．
【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形

由图中数据可知，，，，
在中，，即
解得

是等腰三角形



则的长为
故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
14．>
【分析】由正切的定义可得出tan∠1=，tan∠2=，由＞且∠1，∠2均为锐角可得出∠1＞∠2，此题得解．
【详解】在Rt△ABE中，tan∠1；
在Rt△BCD中，tan∠2．
∵，且∠1，∠2均为锐角，
∴tan∠1＞tan∠2，
∴∠1＞∠2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了解直角三角形，由正切的定义找出tan∠1＞tan∠2是解题的关键．
15．1154cosα．
【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，
故答案为1154cosα．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．
16．
【分析】作辅助线BD使∠ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可．
【详解】解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，

∵BC＝，BD＝，
∴sin∠ACB＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正弦的概念，根据题意得出相应边长是解题的关键．
17．270
【分析】分别在与中求得BD与CD长度，BC=BD+CD，即可求出BC长度．
【详解】∵在中，
∴=100（米）
在中，，
∴
∴（米）
∴（米）
故答案为：270
【点睛】本题主要考查锐角三角函数在实际应用中求解，能找见不同直角三角形中的等量关系是解题关键．
18．3
【分析】过点C作CE∥AB，交BD于点E，可得四边形ABEC是平行四边形，在直角中，利用锐角三角函数的定义，即可求解．
【详解】过点C作CE∥AB，交BD于点E，
∵小石同学在两点分别测得某建筑物上条幅两端两点的仰角均为，
∴∠CAO=∠DBO=60°，
∴AC∥BD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB=3，∠DEC=60°，
∵BO⊥DO，
∴EC⊥DO，
∴在直角中，CD=EC×tan60°=3，
故答案是：3．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
19．（1）见详解；（2），
【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴AD∥CE，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，
∴，
∵，平分，，
∴，
∴EF=CE=AD，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．
20．
【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】解：原式=．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．
21．5
【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．
【详解】解：原式=


【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
（1）
证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）
解：如图，

四边形是菱形，
，，，
在中，，，
，
，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)5，8

【分析】（1）先证，再由，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得，再由平行四边形的性质得，然后证，则，进而证，得．
（1）
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）
∵，，，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)6

【分析】（1）先证明AE∥BD，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE的长，再利用勾股定理求出AE的长即可求得BD的长．
（1）
解：∵AC⊥BD，AC⊥AE，
∴AE∥BD，
又AB∥DC，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）
解：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD=AE，∠E=∠ABD，
∵，
∴，则CE=10，
在Rt△EAC中，，
∴BD=6．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．
25．
【分析】分别根据二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质进行化简，最后再由二次根式的运算法则合并即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂定义及绝对值的性质是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再由三角形中位线定理可得EF∥BC，从而得到EG∥AF，即可求证；
（2）过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，可得EM=FN，再由三角形中位线定理可得EF=6，然后根据四边形AGEF是平行四边形，可得AG=EF=6，GE=AF，GE=AF=5，根据，可得FN=EM=3，从而得到AN=4，再由勾股定理，即可求解．
(1)
解：在平行四边形中，AD∥BC，
∵点E是AB中点，点F是AC的中点，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD，即EF∥AG，
∵EG∥AF，
∴四边形AGEF是平行四边形；
(2)
如图，过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，

∵EF∥AD，
∴EM=FN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=12，
∵点E是AB中点，点F是AC的中点，
∴，
∵四边形AGEF是平行四边形，
∴AG=EF=6，GE=AF，
∵F是AC的中点，，
∴AF=5，
∴GE=AF=5，
∵EM⊥DG，
∴∠EMG=90°，
∴，
∴EM=3，
∴FN=EM=3，
∵FN⊥DG，
∴，
∴GN=AG+AN=10，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．
【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式 = 
=
=．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）根据平行线性质得∠DAC=∠ACB，根据角平分线定义得∠DAC=∠BAC，进而得出∠BCA=∠BAC，推出BA=BC，最后证得结果；
（2）连接BD，根据平行四边形的判定证明四边形EFBD是平行四边形，再求得BC及的值，最后求得AC的长．
(1)
证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)
连接BD，

∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DE∥BF，
∵AC⊥EF，
∴EF∥BD，
∴四边形EFBD是平行四边形，∠OBC=∠F，
∴DE=BF=2，
∵点E为AD边中点，
∴AD=4，
∴BC=AD=4，
∵，∠OBC=∠F，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及性质．
29．(1)见解析；
(2)边长为5

【分析】由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）根据菱形的性质得出，由各角之间的数量关系得出，根据题意得出，再利用勾股定理得出EC的长，然后根据直角三角形斜边上的中线即可得出结果．
（1）
证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵是的中点，
∴
∴在与中，
，
∴
∴AD=BE，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴EB=BC=BD=，
菱形的边长为5．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．