北京市2023年九年级中考数学一轮复习——相似形 练习题(解析版)

这是一份北京市2023年九年级中考数学一轮复习——相似形 练习题(解析版)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——相似形 练习题

一、单选题
1．（2022·北京西城·一模）△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京西城·二模）如图，在中，点E在BA的延长线上，，EC，BD交于点F．若，则DF的长为（    ）

A．3．5 B．4．5 C．4 D．5
3．（2021·北京东城·一模）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京西城·二模）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（    ）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
5．（2020·北京市第一五九中学三模）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）

A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
6．（2020·北京西城·一模）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（    ）

A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m
7．（2020·北京市海淀外国语实验学校模拟预测）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ）

A． B． C． D．2
8．（2020·北京顺义·二模）正方形的边上有一动点，以为边作矩形，且边过点．设AE=x，矩形的面积为y，则y与x之间的关系描述正确的是（    ）

A．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先增大再减小
B．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先减小再增大
C．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变
D．y与x之间不是函数关系
9．（2020·北京市第三十五中学二模）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为若小明的眼睛与地面距离为，则旗杆的高度为单位：   

A． B．9 C．12 D．

二、填空题
10．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为_______．

11．（2021·北京·中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．
12．（2022·北京·清华附中一模）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC．如果，AC＝10，那么EC＝________．

13．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，正方形，是上一点，，于，则的长为______．

14．（2022·北京通州·一模）如图，在△ABC中点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是______（写出一个即可）．

15．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ=1，则S四边形PBCQ=____．

16．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．

17．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC＝_____m．

18．（2022·北京房山·二模）如图，在中，点D在上（不与点A，B重合），过点D作交于点E，若，则__________．


三、解答题
19．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．
（1）求证：EF⊥BD．
（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．
（3）求OF的长度．

20．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）如图1，在中，于点，连接在上截取，使连接

直接判断与的位置关系
如图2，延长交于点，过点作交于点，试判断与之间的数量关系，并证明；
在的条件下，若，求的长．
21．（2022·北京西城·一模）已知：如图，线段AB．

求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
22．（2022·北京昌平·模拟预测）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．

(1)请按照小明的思路写出求解过程．
(2)小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
23．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形中，，过点A作交边于点E，过点E作交边于点F，连接，过点C作交于点H，连接．

(1)求证：；
(2)如图2，若的延长线经过的中点M，求的值．
24．（2021·北京海淀·一模）如图，四边形是矩形，点E是边上一点，．

（1）求证：；
（2）F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，求的长．
25．（2020·北京顺义·一模）已知，如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）．
（2）如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交DB的延长线于点E，连接CE．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．

26．（2020·北京东城·二模）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点

（1）求证：；（2）如果，，求弦的长．
27．（2020·北京朝阳·模拟预测）如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．

参考答案：
1．B
【分析】所有的等边三角形都相似，且相似比等于其边长比，再利用两个相似三角的面积之比等于其相似比的平方，即可求解．
【详解】∵△ABC和△DEF是两个等边三角形，
∴，且有相似比为：，
又∵两个相似三角的面积比等于其相似比的平方，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的基本性质，利用两个相似三角的面积比等于其相似比的平方是解答本题关键．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质与判定即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，









设则




即
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．C
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．
【详解】∵直角三角形两条直角边分别是，，
∴斜边，
∵要做一个与其相似的三角形木架，
∴两个三角形对应边成比例，
∵直角三角形中斜边最大，
∴以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，
则有2种情况，
①，解得：，
②，解得：，
∴另两边中长度最大的一边最多可达到，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键．
4．A
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答．
【详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，
故正确的答案为：A
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5．D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，



∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
6．C
【分析】根据在同一时刻物高和影长比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．
【详解】解：延长AC交BD延长线于点E，

根据物高与影长成正比得：，
∵CD=1，
∴
解得：DE=0.9，
则BE=2.7+0.9=3.6米，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
解得：AB=4，即树AB的高度为4米，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
7．D
【分析】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案．
【详解】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，
∵将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合，
∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE，
∴DH=a-x，EH=a-y，
∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠CHG=∠DEH，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DEH∽△CHG，
∴，即：，
∴CG=，HG=，
在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2，
∴x2=2a(x-y)，
∴n=CH+HG+CG=x++==2a，
∴==2，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质及相似三角形的判定与性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．
8．C
【分析】设正方形的边长为，先根据正方形的性质得出，，再根据矩形的性质得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【详解】设正方形的边长为
四边形ABCD是正方形，
，
四边形是矩形



又

，即
则矩形的面积
因此，y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形与正方形的性质、相似三角形的判定与性质、函数等知识点，利用矩形与正方形的性质正确找出两个相似三角形是解题关键．
9．C
【详解】分析：根据题意容易得到△CDE∽△AEB，再根据相似三角形的性质解答即可．
详解：如图：

∵根据入射角与反射角相等可知,∠CED=∠AEB,故Rt△CDE∽Rt△AEB，
∴，即，
解得AB=12m.
故选C.
点睛：本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.
10．1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
11．     2∶3    
【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．
【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，解得：，
∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），
∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，
∵加工时间相同，
∴，
解得：，
∴；
故答案为，．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．
12．4
【分析】由DE∥BC，推出 , 可得EC= , 由此即可解决问题．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AC=10，
∴EC===4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13．
【分析】根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵四边形 是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
14．∠ACD=∠B（答案不唯一，或∠ADC=∠ACB或均可）
【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可．
【详解】解：∵∠A=∠A
∴添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．
故答案是：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定．两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．
15．3．
【分析】利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】∵P，Q分别为AB，AC的中点，
∴ ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．
16．3
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF＝6，
∴，
∴，
∴AE＝5，
∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
17．25
【分析】先证明△AEF∽△ACD得到＝ ，即AE+15+CG＝5AE，再证明△CGH∽△CAB得到＝，即AE+15+CG＝5CG，然后解关于AE、CG的方程组，从而得到AC的长．
【详解】解：∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴＝，即＝，即AE+15+CG＝5AE，
∵GH∥AB，
∴△CGH∽△CAB，
∴＝，即＝，即AE+15+CG＝5CG，
∴AE＝CG＝5，
∴AC＝5+15+5＝25（m）．
故答案为25．
【点睛】本题考查相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
18．
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出， 即可求解．
【详解】解：∵ 中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据正方形的性质求出AC⊥BD，即可得出答案；
（2）根据平行线得出＝，求出AC∥DP，根据平行四边形的判定推出即可；
（3）求出OE和EF的长，再根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD；
（2）证明：

∵EF∥AC，
∴＝，＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CP，OA＝OC，
∴＝，
即＝，
∴AO∥DP，
∵AD∥CP，
∴四边形ACPD为平行四边形；
（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，
∵四边形ACPD为平行四边形，
∴CP＝AD＝BC，
∴＝，
∵AD∥BP，
∴＝＝，
∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，
∵DO＝BD＝，
∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴EF＝DE＝，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
20．（1）；（2），证明见解析；（3）1
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到即可判断；
（2）过点作交于点，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；
（3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：（1）；理由如下：如图，

，，
，
，，
，
，
∵，
∴，即，
故答案为：；
（2）；
过点作交于点，

，
，，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，

，又，
，
，
，
，
，
，
；
（3），为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
经检验：符合题意．
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题．
21．(1)见解析；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明四边形EGBH是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题．
【详解】（1）、
补全图形如下图所示：

（2）证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴，即．
∴AC∶AB=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．(1)见解析
(2)正确，见解析

【分析】（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，结合平行线分线段成比例定理可得：，由DE＝EP，可知DF＝FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得，进而可求得EM与EN的比值；
（2）作MH∥BC交AB于点H，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB∥CD，可得∠MNH＝∠CMN，结合对顶角的性质可证得∠DPC＝∠MNH，进而可得△DPC≌△MNH，从而有DP＝MN．
（1）
解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图1），

则，GF＝BC＝12，
∵DE＝EP，
∴DF＝FC，
∴EF＝CP＝＝3，EG＝GF+EF＝12+3＝15，
∵AB∥CD，
∴；
（2）
解：正确，
证明：作MH∥BC交AB于点H，（如图2），
则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，
∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCP＝∠MHN，
∵AB∥CD，
∴∠MNH＝∠CMN，
∵NE是DP的垂直平分线，
∴∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，
∵∠DPC＝90°﹣∠CDP，
∴∠DPC＝∠MNH，
∴△DPC≌△MNH（AAS），
∴DP＝MN．

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．
23．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由， 可证明AB=AE，再根据证得∠BAH=∠AEF，∠ABC=∠FEC，进而得到EF=CF，再证明四边形AHCF是平行四边形得到AH=CF=EF，再利用SAS证明两三角形全等即可；
（2）设CF=EF=AH=a，=k，证明△ABE∽△FEC得出AB=AE=ak，再证明△ABM≌△FGM(AAS)证得AB=GF=ak，则GE=ak+a，再证明△ABH∽△EGH得到即，解方程求出k值即可解答.
（1）
证明：∵， ，
∴∠AEB=∠BCD=∠ABC，
∴AB=EA，
∵，
∴∠BAH=∠AEF，∠ABC=∠FEC，
∴EF=CF，
∵AE∥CD，CH∥AF，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴CF=AH，即AH=EF，
在△ABH和△EAF中，
，
∴△ABH≌△EAF（SAS）；
（2）
解：延长BM、EF交于点G，
∵AB∥EF，AE∥CD，
∴∠ABE=∠FEC，∠AEB=∠FCE，∠ABM=∠FGM，
∴△ABE∽△FEC，
∴，
由（1）知CF=EF=AH，AB=AE，
设CF=EF=AH=a，=k，则AB=AE=ak，
∵点M为AF的中点，
∴AM=MF，
在△ABM和△FGM中，
，
∴△ABM≌△FGM(AAS)，
∴AB=GF=ak，则GE=ak+a，
∵AB∥EF，
∴∠ABH=∠EGH，∠BAH=∠GEH，
∴△ABH∽△EGH，
∴，
∴即，
解得：k=或k=（舍去），
经检验，k=是所列方程的解，
∴=k=.

【点睛】本题考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.
24．（1）证明见解析 ；（2） ．
【分析】（1）由矩形的性质和垂直的定义，得到，，即可得到结论成立；
（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出，，再证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长．
【详解】（1）证明：
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．

（2）解：∵由（1），
∴．
∵矩形中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题．
25．（1）①45°，②；（2）①见解析，②，证明见解析
【分析】（1）①证明∠AED＝∠D＝15°，∠BAE＝30°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
②结论：．作CK⊥BC交BD于K，连接CD．证明BE＝EK，DK＝AE即可解决问题．
（2）①根据要求画出图形即可．
②结论：．过点A作AF⊥AE，交ED的延长线于点F（如图3），利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：①如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
由旋转可知：AD＝AC，∠CAD＝90°．
∴AB＝AD，∠BAD＝150°，
∴∠ABD＝∠D＝15°，
∴∠AED＝∠ABD+∠BAE＝45°．
②结论：．
理由：作CK⊥BC交BD于K，连接CD．
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（SAS），
∴BE＝EC，∠AEB＝∠AEC＝135°，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∵∠BCK＝90°，
∴∠CKB＝∠CBE＝45°，
∴CB＝CE，
∵CE⊥BK，
∴BE＝EK，
∵∠ADC＝45°，∠ADB＝15°，
∴∠CDK＝∠CAE＝30°，
∵∠CKD＝∠AEC＝135°，
∴△CDK∽△CAE，
∴＝＝，
∴DK＝AE，
∴BD＝BK+DK＝2BE+AE．
（2）解：①图形如图2所示：

②结论：．
理由：过点A作AF⊥AE，交ED的延长线于点F（如图3）．

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAC＝30°，
由旋转可知：AD＝AC，∠CAD＝90°，
∴AB＝AD，∠2＝∠CAD﹣∠BAC＝30°，
∴∠3＝∠4＝75°，
∴∠5＝∠4﹣∠1＝45°，
∵AF⊥AE，
∴∠F＝45°＝∠5，
∴AF＝AE，
∴EF＝AE，
∵∠6＝∠EAF﹣∠1﹣∠2＝30°，
∴∠6＝∠1＝30°，
又∵∠F＝∠5＝45°，AD＝AB，
∴△ADF≌△ABE（SAS），
∴DF＝BE，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE垂直平分BC，
∴CE＝BE，
∵BD＝EF﹣DF﹣BE，
∴BD＝AE﹣2CE．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A=90°，又∠CDE+∠A=90°，可得∠CDE=∠ACE，则结论得证；
（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．
【详解】（1）证明：连接，

∵与相切，是的半径，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴，
∴.
（2）∵为直径，
∴.
在中，，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
在中，，，
∴.
∴.
在中，.
在和中，
∵，
∴，
∴，即，
∴.
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
27．（1）①BE＝DG，②BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．理由见解析；（3）BG2+DE2＝25．
【分析】（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET=x，AT=y．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）①如图②中，

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG；
②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．
由①知，△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，
∴∠ATB+∠ADG＝90°，
∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．
如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．

∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠DAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，＝，
∴DG＝2BE，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，
∴∠ATB+∠ADG＝90°，
∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．

∵∠GAH+∠DAG=90°，∠BAE+∠DAG=90°，
∴∠GAH=∠BAE，
又∵∠GHA=∠ATE=90°，
∴△AHG∽△ATE，
∴＝2，
∴GH＝2x，AH＝2y，
∴4x2+4y2＝4，
∴x2+y2＝1，
∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．