北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（上） 练习题(解析版)

这是一份北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（上） 练习题(解析版)，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——圆（上） 练习题

一、单选题
1．（2022·北京大兴·二模）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，则的度数为（    ）

A．50° B．80° C．70° D．90°
2．（2022·北京门头沟·二模）如图，在⊙O中， AB是直径，CD丄AB，∠ACD = 60°，OD = 2，那么DC的长等于（    ）

A． B．
C．2 D．4
3．（2022·北京昌平·二模）如图，的直径，垂足为，，连接并延长交于点，连接，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
4．（2022·北京平谷·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（　　）

A．55° B．110° C．130° D．140°
5．（2022·北京海淀·一模）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．

若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（    ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中， ∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（     ）

A．17 B．14 C．12 D．10
7．（2021·北京东城·二模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（    ）

A．
B．
C．
D．
8．（2021·北京石景山·二模）如图，点，，在上，，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
9．（2021·北京海淀·一模）如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
10．（2022·北京东城·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为______．

11．（2022·北京平谷·二模）如图，⊙O中，点A、B、C为⊙O上的点，若，则∠OAB的度数为___________．

12．（2022·北京海淀·二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径．若∠BAC =20°，则∠D的度数为________．

13．（2022·北京西城·二模）如图，是的外接圆，，，则的值为______．

14．（2022·北京师大附中模拟预测）下面是六个推断：
①因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角．
②因为周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角．
③因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形．
④因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行．
⑤因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形．
⑥因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形．
其中正确的结论有_____个，其序号是_____．
15．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，OA，OB，OC均为⊙O的半径，OA⊥OB，，若点D是弧AB上的一点，则∠ADC的度数为_____．

16．（2022·北京四中模拟预测）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．

17．（2022·北京房山·一模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，则∠A度数为_________．

18．（2022·北京市第七中学一模）如图，⊙中，半径于点，点在⊙上，，，则半径等于______．


三、解答题
19．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．

（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
20．（2020·北京·中考真题）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC

21．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．
(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；
(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．
22．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M，N的对应点）．若MN与M'N'均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对称封闭图形”．

(1)如图，点P（-1，0）．
① 已知图形W1：半径为1的⊙O，W2：以线段PO为边的等边三角形，W3：以O为中心且边长为2的正方形，在W1，W2，W3中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是　　　　；
② 以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段PO关于直线 y = x + b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；
(2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN的长度为2．若存在点Q（），使得对于任意过点Q的直线l，有线段MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．
23．（2022·北京·北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使∠PQC＝90°，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”，称Rt△PCQ为其对应的“联络三角形”．
如图为点P关于图形G的一个“直角联络点”及其对应的“联络三角形”的示例．
（1）已知点A（4，0），B（4，4）
①在点Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，点O关于点A的“直角联络点”是　 　；
②点E的坐标为（2，m），若点E是点O关于线段AB的“直角联络点”，直接写出m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为（t，0），半径为，直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，若在⊙T上存在一点P，使得点P关于⊙T的一个“直角联络点”在线段HK上，且其对应的“联络三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．

24．（2022·北京市第七中学一模）如图在⊙O中，OA是半径，OA＝4．
（1）用直尺和圆规作OA的垂直平分线BC，BC交OA于点D，交⊙O于点B、C（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在第（1）问的基础上，求线段BC的长度．

25．（2022·北京海淀·二模）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG =AG，连接AC．

(1)求证：AC∥DF；
(2)若AB = 12，求AC和GD的长．
26．（2022·北京房山·模拟预测）如图，点P是正方形内一动点，满足且，过点D作交的延长线于点E．

(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(3)连接，若，请直接写出线段长度的最小值．
27．（2022·北京市燕山教研中心一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l，

作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC＝AP，
∴　 　．
∴∠ABP＝∠BPC（　 　）（填推理依据）．
∴直线PC∥直线l．
28．（2022·北京朝阳·一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．
由记载可得作法如下：
①作，在上取一点N，以点N为圆心，为半径作，两圆相交于A，B两点，连接；
②以点B为圆心，为半径作，与相交于点C，与相交于点D；
③连接，，，．
，都是圆内接正三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)完成下面的证明，
证明：连接，，，．
∵，
∴为①_________．
∴．
同理可得，．
∴．
∴（②____________）（填推理的依据）．
∵，
∴是等边三角形．
同理可得，是等边三角形．
29．（2022·北京丰台·一模）《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，∠BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向．

(1)上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作∠BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）；
(2)在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：∵点B，C在⊙O上，
∴AB＝ ．
∴△ABC是等腰三角形．
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC （ ）（填推理的依据）．
∵直线CB表示的方向为东西方向，
∴直线AD表示的方向为南北方向．

参考答案：
1．B
【分析】由等弧所对的圆周角相等可知，再利用三角形外角定理求．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，三角形的外角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，，∠DEO=∠AEC=90°，利用圆周角定理求出求出∠DOE=2∠A=60°，根据三角函数求出DE，即可得到CD．
【详解】解：∵AB是直径，CD丄AB，
∴CE=DE，，∠DEO=∠AEC=90°，
∵∠ACD = 60°，
∴∠A=30°，
∴∠DOE=2∠A=60°，
∴DE=，
∴CD=2DE=，
故选：B．

【点睛】此题考查了圆的垂径定理，圆周角定理，熟记两个定理的内容并熟练应用是解题的关键．
3．C
【分析】由OA=OC，得∠OCA=∠A=30°从而得∠BOC=∠OCA+∠A=60°，再由CF是直径，则∠CDF=90°，则FD⊥CD，又因为AB⊥CD，所以ABDF，所以∠CFD=∠BOC =60°．
【详解】解：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠BOC=∠OCA+∠A=60°，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF=90°，即FD⊥CD，
又∵AB⊥CD，
∴ABDF，
∴∠CFD=∠BOC =60°．
故选：C．
【点睛】本题考查直径所对圆周角是直角，等腰三角形的性质，三角形外角性质，平行线的判定与性质，掌握直径所对圆周角是直角是解题的关键．
4．D
【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
5．A
【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图

∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴优弧所对圆周角
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且
∴为优弧所对圆周角
∴，即①方案成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，

∵，
∴②方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和相切于点P

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴③方案不成立；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
6．C
【分析】直角所对的弦是直径，即△OCD是直角三角形，由勾股定理计算CD的长.
【详解】解：因为∠AOB＝90°，所以CD是直径，
由勾股定理得，CD＝≈12.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论及勾股定理，在圆中如果有90°的圆周角时，一般要和直径构成直角三角形，结合勾股定理求解.
7．B
【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．
∴∠AOB=
∴OB与围成的扇形的面积是
故选B．
【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．
8．C
【分析】连接AB，则由∠AOB=100°、OA=OB，可求得∠OAB=∠OBA及其度数，进而可得∠ABC的度数，由圆周角定理可求得∠C的度数，在△ABC中可求得∠CAB的度数，从而可得∠OAC的度数．
【详解】如图，连接AB

则OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=60°
∵∠C
∴在△ABC中，∠CAB=180°−∠C−∠ABC=70°
∴∠OAC=∠CAB−∠OAB=70°−40°=30°
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，圆周角定理等知识，关键是连接AB，使得有关角度的计算可以在三角形中进行．
9．D
【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解．
【详解】解：如图，

∵AB为⊙O的直径，P在上，
∴∠APB=90°，
∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，
∴∠BPQ=25°，
∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，
∵点C、D将分成相等的三段弧，
∴，
∴∠BOD=，
∵∠BOQBC，
故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC=90°，AB=BC，
将x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，
即b>3；
当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，

则当BQ≥BC时，符合题意，
当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，

此时，－1+b=0，即b=1，
即1≤b