甘肃省陇南市康县阳坝镇初级中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省陇南市康县阳坝镇初级中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年甘肃省陇南市康县阳坝中学九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
2．（4分）如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝10°，则∠AOB′的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
3．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝40°，则∠CDA的度数是（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
5．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
6．（4分）一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（　　）

A．45° B．30° C．75° D．60°
8．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）一元二次方程x2+4x﹣5＝0经过配方后，可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为　 　．
12．（4分）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为　 　．

13．（4分）抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，4），则代数式4a+2b的值为　 　．
14．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为 　 　．
15．（4分）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为 　 　．

16．（4分）公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 　 　m才能停下来．
17．（4分）将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是　 　cm2．

18．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则x12+x22的值为　 　．
三、解答题（共28分）
19．（8分）（1）解方程x2﹣3x+2＝0；
（2）关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0，当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
20．（7分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．

21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）．
（1）将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形；
（2）若点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，写出点B1、C1、D1的坐标．

22．（7分）如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC＝CD．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D，以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过A、D两点．试判断BC与⊙O的位置关系．

24．（10分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．

25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DE为切线，AE⊥DE，若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．

26．（10分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润＝销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
27．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．


2021-2022学年甘肃省陇南市康县阳坝中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【分析】利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．
【解答】解：A．摸到红球是随机事件，故A选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故B选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故C选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故D选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键．
2．（4分）如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝10°，则∠AOB′的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝10°，
∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣10°＝35°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝10°是解题关键．
3．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝40°，则∠CDA的度数是（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC＝90°，利用互余得∠COD＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得∠ODA＝∠COD＝25°，然后计算∠ODC+∠ODA即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
而∠COD＝∠A+∠ODA，
∴∠ODA＝∠COD＝25°，
∴∠CDA＝∠ODC+∠ODA＝90°+25°＝115°．
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
5．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
【分析】方程没有实数根，则Δ＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：由题意知，Δ＝4﹣4m＜0，
∴m＞1
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
6．（4分）一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球所标数字之和为6的有：（1，5），（3，3），（5，1），
∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率是：＝．
故选：C．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验．
7．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（　　）

A．45° B．30° C．75° D．60°
【分析】连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C，则∠ODA＝∠ODB＝90°，根据折叠求出OD＝CD＝OC＝OA＝OB，求出∠OAB＝∠OBA＝30°，再求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出答案即可．
【解答】解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C，则∠ODA＝∠ODB＝90°，

∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD＝CD＝OC＝OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，
∴∠APB＝AOB＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，翻折变换，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．
8．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝x2+m的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
9．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
10．（4分）一元二次方程x2+4x﹣5＝0经过配方后，可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+4＝5+4，
（x+2）2＝9，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为　　．
【分析】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为2的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．
【解答】解：由题意得，∠AOB＝＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∴OC＝2•cos30°＝2×＝，
故答案为：．

【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
12．（4分）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为　60°　．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD＝90°，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝60°．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A＝∠D＝60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°．
【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
13．（4分）抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，4），则代数式4a+2b的值为　1　．
【分析】把点（2，4）代入函数解析式即可求出4a+2b的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，4），
∴4a+2b+3＝4，
∴4a+2b＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．
14．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为 　（4，3）　．
【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为y＝（x﹣4）2+3，
∴顶点坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，根据平移的规律求得平移后抛物线的解析式是解题的关键．
15．（4分）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为 　2π　．

【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
【解答】解：如图，∠BAO＝30°，AO＝，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO＝，
∴BO＝tan30°＝1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB＝＝2，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积＝•2π•1•2＝2π．
故答案为2π．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（4分）公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 　20　m才能停下来．
【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【解答】解：依题意：该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣2）2+20，
当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．
故惯性汽车要滑行20米．
【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．
17．（4分）将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是　　cm2．

【分析】阴影部分为直角三角形，且∠C′AB＝30°，AC′＝5，解此三角形求出短直角边后计算面积．
【解答】解：∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∵∠CAC′＝15°，
∴∠C′AB＝∠CAB﹣∠CAC′＝45°﹣15°＝30°，AC′＝AC＝5（cm），
∴阴影部分的面积＝×5×tan30°×5＝（cm2）．
【点评】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
18．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则x12+x22的值为　3　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1•x2＝﹣1，再把+变形为（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1•x2＝﹣1，
所以+＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12﹣2×（﹣1）＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
三、解答题（共28分）
19．（8分）（1）解方程x2﹣3x+2＝0；
（2）关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0，当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【分析】（1）利用因式分解解答即可；
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x1＝1，x2＝2；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，
解得：，
则a的值是﹣5，该方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，也考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
20．（7分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．

【分析】（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，两点代入y＝﹣x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式．（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．
【解答】解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6．

（2）∵该抛物线对称轴为直线x＝﹣＝4，
∴点C的坐标为（4，0），
∴AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，
∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6．
【点评】本题是二次函数与x轴的交点、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）．
（1）将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形；
（2）若点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，写出点B1、C1、D1的坐标．

【分析】（1）分别画出B、C、D三点绕点A顺时针方向旋转90°后的对应点B1、C1、D1即可．
（2）根据图象写出坐标即可．
【解答】解：（1）正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，旋转后的图形如图所示．


（2）B1（2，﹣1），C1（4，0），D1（3，2）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、正方形的性质、平面直角坐标系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，熟练掌握作旋转变换的图形，属于中考常考题型．
22．（7分）如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC＝CD．

【分析】AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证．
【解答】∵直线AC与⊙O相切，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，即∠OAB+∠CAB＝90°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∴∠B+∠ODB＝90°，
而∠ODB＝∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝90°，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B，
∴∠ADC＝∠CAB，
∴AC＝CD．
【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D，以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过A、D两点．试判断BC与⊙O的位置关系．

【分析】（1）作出AD的垂直平分线交AB于O，再以O为圆心，AO长为半径画圆即可；连接OD，根据OA＝OD，可得∠OAD＝∠ODA，再证明OD∥AC，可得∠C＝∠BDO＝90°，进而得到直线BC与⊙O的位置关系．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所求作的圆；

BC与⊙O相切．
连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∵OD为半径，
∴BC与⊙O相切．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，以及复杂作图，关键是正确画出图形．
24．（10分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；

（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，
∴两个数字的积为奇数的概率为：＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DE为切线，AE⊥DE，若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，进而求出∠DOC，根据含30°角的直角三角形的性质分别求出OC、OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵DE为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠DOC＝60°，OD＝2OC，
∴BD＝OB＝OA，
∵AE⊥DE，∠D＝30°，AE＝6，
∴DA＝2AE＝12，
∴OD＝8，OC＝4，
∴CD＝＝＝4，
∴S阴影部分＝S△OCD﹣S扇形BOC＝×4×4﹣＝8﹣π．

【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
26．（10分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润＝销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“总利润＝单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．
【解答】解：（1）S＝y（x﹣40）＝（x﹣40）（﹣10x+1200）＝﹣10x2+1600x﹣48000；
（2）S＝﹣10x2+1600x﹣48000＝﹣10（x﹣80）2+16000，
则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
27．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．

【分析】（1）先把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，从而确定二次函数的解析式；
（2）先确定抛物线与x轴的两交点坐标，然后观察函数图象得到当﹣1＜x＜3时，函数图象都在x轴上方，即y＞0；
（3）先把解析式配成顶点式得到y＝﹣（x﹣1）2+4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，由于2≤x≤4，根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把y＝0代入y＝﹣x2+2x+3得﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以当﹣1＜x＜3，y＞0；
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y的最大值为3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．