2021-2022学年广东省东莞外国语学校高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省东莞外国语学校高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合A，根据补集的定义求出，再求出即可．

【详解】解：，

，

故，

故选：B．

2．函数的定义域为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意得，解得 ，即．

3．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依次判断每个函数的单调区间和奇偶性得到答案.

【详解】在上单调递增，A错误；

在上单调递增，B错误；

是非奇非偶函数，C错误；

是偶函数，且在上单调递减，D正确.

故选：D.

4．二次函数的零点是（    ）

A．， B．，1

C．， D．，

【答案】A

【分析】函数的零点转化为方程的根，求解即可．

【详解】解：二次函数的零点就是的解，

解得，或，

故选：A．

5．图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（　　）

A．、、 B．、、 C．、、 D．、、

【答案】D

【分析】根据幂函数在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值．

【详解】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，

可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，

结合选项知，指数的值依次可以是．

故选：D.

6．中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位､百位､万位……的数按纵式的数码摆出：十位､千位､十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示.

纵式

横式

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片表示的结果和下列相同的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，判断出表示的数字，然后考察各选项计算后的值是否符合.

【详解】根据题意，判断出表示的数字为729，

，不符合题意；,符合题意；个位数字为1，不符合题意；，不符合题意.

故选：B

7．已知偶函数在上单调递减，则满足的的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为偶函数在上单调递减，则满足，

所以，可得,

即或或，

的取值范围是.

故选：C.

8．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（    ）（参考数据：，，）

A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟

【答案】C

【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.

【详解】根据题意，，即

设茶水从降至大约用时t分钟，则，

即，即

两边同时取对数：

解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.

二、多选题

9．下列集合中为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】不含任何元素的集合为空集，看四个选项中哪个集合不含任何元素即为空集.

【详解】显然A、C不是空集；B选项中无解，故为空集，D中无解，为空集.

故选：BD

10．下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有(    )

A．， B．有的矩形不是平行四边形

C．， D．，

【答案】AB

【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解.

【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D错误，

选项A：因为，所以命题为假命题；

选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；

选项C：，故命题为真命题，故C错误，

故选:AB．

11．李华从甲地到乙地往返的速度分别为和（），其全程的平均速度为v，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】设甲乙两地的距离为，进而得，再作差比较大小即可.

【详解】解：设甲乙两地的距离为，则从甲地到乙地用时，从乙地到甲地用时，

所以全程的平均速度为，故A错误，B正确；

因为，，

所以，故C正确，D错误.

故选：BC

12．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数k的值可以是（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】ACD

【分析】作出函数的图象，根据图象可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，而 最多有2个实根，由此分类讨论可得出结果.

【详解】函数的图象如图所示，由图可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，

当时，方程无实根，

当时，方程有唯一实根，

当时，方程有2个实根，

当或时，方程有3个实根，

当时，方程有4个实根，

∵最多有2个实根，此时，

∴方程有6个不同的实数根等价于的实根至少有3个，

当时，的三个根均大于-2，符合题意；

当时，的四个根均大于，有8个不同的实数根，不合题意；

当时，此时有7个不同的实数根，不合题意；

当时，只有三个均大于的不同实根，符合题意.

故的取值范围是

故选：ACD

三、填空题

13．关于a的不等式的解集是___________.

【答案】

【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.

【详解】由，得，

解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：.

14．已知函数，若，则__________.

【答案】

【分析】分、解方程，综合可得出实数的值.

【详解】当时，由可得；

当时，由，此时无解.

综上所述，.

故答案为：.

15．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为 ___．

【答案】

【分析】根据题意集合A有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案.

【详解】集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则集合有1个元素，

当时，，满足条件；

当时，有一个元素，则，，

此时，满足条件.

综上所述：或.

故答案为：.

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是__________

【答案】

【分析】由题意分离常数可得，再由指数函数的性质可得的值域，即可得解.

【详解】依题意，

由可得，即的值域为，

所以函数的值域是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了数学文化及分离常数法求函数值域的应用，考查了指数函数性质的应用、运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）先化为分数指数幂，然后利用幂的运算法则化简；

（2）利用对数的运算法则和换底公式运算化简.

【详解】（1）解：原式=.

（2）解：原式=.

18．已知集合

(1)若，全集，求；

(2)从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数的取值范围.

条件①∶若；条件②∶若

【答案】(1)

(2)条件①：；条件②：或

【分析】（1），集合已知，根据并集和补集的定义即可求解

（2）条件①∶若，说明；条件②∶若，则的范围与的范围没有公共部分，从而可以求解实数的取值范围

【详解】（1）由题得：集合，因为，所以集合，全集，所以

（2）选择条件①

因为，所以，因为，所以，由（1）得：，若，则 ，解得：

选择条件②

因为，，且，则或

19．已知函数在时的最小值为m.

(1)求m；

(2)若函数的定义域为R，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接根据基本不等式即可得结果；

（2）将题意转化为含有参数的一元二次不等式恒成立问题，分为二次项系数为0和不为0两种情形讨论即可得结果.

【详解】（1）∵，∴，

当且仅当，即时等号成立，∴；

（2）由（1）可知的定义域为R，

∴不等式的解集为R，

①时，恒成立，满足题意；

②时，，解得，

∴综上得a的取值范围为.

20．已知函数是定义域上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性并证明.

【答案】(1)

(2)函数在上单调递增，证明见解析

【分析】（1）根据，且是奇函数，得到，联立求解；

（2）利用函数的单调性的定义证明.

【详解】（1）解：，且是奇函数，

，

，

解得，经检验成立，

；

（2）函数在上单调递增，

证明如下：任取，，且，

则，

，且，

，，∴，

，即，

函数在上单调递增.

21．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足19万件时，（万元），在年产量大于或等于19万件时，（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．

【解析】（1）根据题意，分、两种情况可写出答案；

（2）利用二次函数和基本不等式的知识，分别求出、时的最大值，然后作比较可得答案.

【详解】（1）因为每件商品售价为25元，则万件商品销售收入为万元，

依题意得，当时，，

当时，，

所以；

（2）当时，，

此时，当时，取得最大值万元，

当时，万元，

此时，当且仅当，即时，取得最大值180万元，

因为，所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，

最大利润为180万元．

22．已知函数，，记.

(1)证明：为奇函数；

(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据奇函数证明步骤解决即可；（2）根据奇偶性，单调性，换元法将存在，使得不等式成立，转化为使成立，然后求最大值即可.

【详解】（1）根据题意，

，

定义域为，

对任意，都有，

所以为奇函数.

（2）因为为增函数，

所以为减函数，

所以为增函数，即为上单调递增的奇函数

所以存在，使成立

即存在使得，即成立

即，使，即成立，

令，由，得，

所以使成立，

因为在上单调递减，在上单调递增

而，，

所以，

所以.