2021-2022学年湖北省荆州市沙市第五中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省荆州市沙市第五中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省荆州市沙市第五中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．若函数的图象经过点，则的值为（    ）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【分析】根据幂函数的定义解出函数的解析式，进而求出即可.【详解】由题意知，函数图象过点，所以，即，则，得，所以，有.故选：B2．函数的零点是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数零点定义解方程，即可得出结果.【详解】解：由函数零点定义可知，解得：.故选：B.3．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】依次判断各选项的两个函数的定义域和对应关系是否一致，即可得结果.【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.B选项，的定义域为，的定义域为或 ，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.C选项，，，两个函数的定义域都为R，但对应关系不同，故不是同一函数.D选项，两个函数的定义域都为R，对应关系相同，故是同一函数.故选：D4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，则函数的一个精确度为 0．1的正实数零点的近似值为（    ）A．0.6 B．0.75C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】根据二分法定义计算即可得到答案.【详解】已知则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．故选:C.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设原来森林蓄积量为a，要增长到原来的x倍，需经过y年，由题得y＝log1.104x，即得解.【详解】设原来森林蓄积量为a，∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，∴一年后，森林蓄积量为a（1+10.4%）两年后，森林蓄积量为a（1+10.4%）2，经过y年，森林蓄积量为a（1+10.4%）y，∵要增长到原来的x倍，需经过y年，∴a（1+10.4%）y＝ax∴1.104y＝x则y＝log1.104x.由于函数是对数函数，，所以函数y＝f（x）的图象大致为D.故选：D．【点睛】本题主要考查指数对数函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．城镇化是国家现代化的重要指标，根据资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，由此估算2035年我国城镇常住人口数为（    ）A．10.82亿 B．10.66亿 C．10.98亿 D．9.12亿【答案】A【分析】依题意常住人口数与年份成一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入计算即可；【详解】解：设年份为，常住人口为（亿），则，因为函数过点，所以，解得，所以，当时，.所以2035年我国城镇常住人口数为亿.故选：A．7．若定义在R上的偶函数在单调递减，且，则满足不等式的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性得到函数在上单调递增，考虑，，三种情况，根据函数单调性得到答案.【详解】偶函数在单调递减，故函数在上单调递增，，当时，，即，故；当时，，成立；当时，，即，故.综上所述：或.故选：B.8．函数，若，且互不相等，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先画出函数图象，再求出，再结合基本不等式即可求解.【详解】函数的图象如下图所示：若，且互不相等，不妨设，则，即，所以，又，，所以，又由变形得，解得，所以，故选：C. 二、多选题9．已知，且，下列说法不正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】AD可举出反例；C选项可推导出或；B选项，根据单调可得到.【详解】若，则无意义，A错误；因为，且为单调函数，所以，B正确；因为，则，所以或，C错误；若，则无意义，D错误.故选：ACD10．若函数（且）在上为单调函数，则的值可以是（    ）A． B． C． D．2【答案】ABD【分析】根据指数函数与一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系；【详解】解：因为函数（且）在上为单调函数，所以或，解得或，所以满足条件的有ABD；故选：ABD11．下列说法中正确的是（    ）A．任取，均有B．图象经过的幂函数是偶函数C．在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称D．若方程的两根分别为m，n，则【答案】ACD【分析】对选项A，根据指数函数的图象可判断；对选项B，求出幂函数就可以判断；对于选项C，根据图象可以判断；对于选项D，运用数形结合再通过运算可知结果.【详解】对选项A，令，，当时，的图象恒在的上，则A正确；对选项B，设，则，解得，则，所以函数不是偶函数，故B错误；对选项C，函数与的图象关于y轴对称，往上平移1个单位就得到函数与的图象，所以还关于y轴对称，故C正确；对选项D，由方程的两根分别为m，n，可知m，n两根中，一个大于1，另一个小于1，不妨令m小于1，则n大于1，所以有，有，所以，同理，，，又，所以，故D正确；故选：ACD．12．已知正实数a，b满足 ，且，则 的值可以为（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】BC【分析】由指数式化对数式得到，代入到，解方程得到和.【详解】由得到，则，即，整理得，解得或，当时，，则当时，，则.故选：BC.【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的性质，属于基础题. 三、填空题13．已知集合，则__________．【答案】【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合，所以，故答案为： .14．已知，则实数a的取值范围为__________．【答案】【分析】根据指数函数的单调性即可解出．【详解】因为可化为，而函数在上递增，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：．15．已知函数，若函数恰有两个零点，则k的取值范围为____.【答案】【解析】先根据条件得到的解析式，作出的图像，知道函数的单调区间和最值，根据函数恰有两个不同的零点，得到与图像有且仅有两个交点，数形结合即可求解.【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，令，可得当时，；当时，；，作出函数的图像，如图所示由图可知，在单调递增，在单调递减，若函数恰有两个不同的零点，得到与图象有且仅有两个交点，故，故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解16．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是______．①如果，那么函数为奇函数；②如果，那么为单调函数；③如果，那么函数没有零点；④如果那么函数的最小值为2．【答案】②③【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一分析即可得到结论.【详解】对①：当时，函数，此时为偶函数，故①错误.对②：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；综上：如果，那么为单调函数；故②正确.对③：当时，函数，当时，函数；综上：如果，那么函数没有零点；故③正确.对④：由，则，当时，函数；当时，函数；故时，函数没有最小值；故④错误.故答案为：②③【点睛】本题考查了函数的奇偶性和最值的应用，考查基本不等式，考查指数函数的性质，属于中档题. 四、解答题17．求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）.【解析】根据指数与对数的运算求解即可.【详解】解:（1）原式（2）原式18．求下列各式的最小值：(1)已知正实数，满足，求的最小值.(2)设，求函数的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由已知可得，，展开后利用基本不等式可求；(2)根据函数的形式，换元：设，将原函数变为对勾函数类型进行求解﹒【详解】（1）正实数，满足，，当且仅当且即，时取得最小值；（2）令，则，当且仅当时取最小值﹒19．已知函数，.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出函数的义域为或，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于在R上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.【详解】（1）若，, 函数的定义域为或，由于函数是定义域上的增函数，所以的单调递减区间等价于函数或的减区间，或的减区间为，所以函数的单调递减区间.（2）由题得在R上恒成立，当时，2＞0恒成立，所以满足题意；当时，，所以.综合得【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知函数．（1）若，求函数的零点；（2）探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析.【分析】（1）由题知，再令解方程即可得答案；（2）假设存在，再结合函数的定义域为，得，再检验即可得.【详解】（1）当时，，由得，所以，即，解得，所以函数的零点为．（2）假设存在实数，使得函数为奇函数，因为的定义域为，关于原点对称，则，所以，此时，又因为，此时为奇函数，满足题意．故存在实数，使得函数为奇函数．21．设函数f(x)=ax-a-x(x∈R，a>0且a≠1).（1）若f(1)<0，求使不等式f(x2+tx)＋f(4-x)<0恒成立时实数t的取值范围；（2）若，g(x)=a2x＋a-2x-2mf(x)且g(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m的值.【答案】（1）；（2）2.【分析】(1)由f(1)<0导出，再探讨函数f(x)的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；(2)由求出，借助换元的思想将函数g(x)转化成二次函数问题即可作答.【详解】（1），即，而，则，解得，显然在上单调递减，又，于是得在上是奇函数，从而有等价于，由原不等式恒成立可得，即恒成立，亦即，解得：，所以实数的取值范围是：；（2），即，而，解得：，所以，令，显然在上单调递增，则，，对称轴为，当时，，解得或(舍)，则，当时，，解得：不符合题意，综上得，所以实数m的值为2.22．已知函数对于任意实数x，恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性并证明；(2)求在区间的最大值；(3)解关于x的不等式：.【答案】(1)为奇函数，理由见解析(2)3(3)当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为 【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，然后用赋值法来得到，从而判断出结论；（2）结合题干中当时，的条件，赋值法和为奇函数共同判定的单调递增，再赋值法求解即可；（3）利用第一问的奇函数性质与第二问的单调性，对进行分类讨论，求出不等式的解集.【详解】（1）为奇函数，理由如下：函数的定义域为R，关于原点对称令得：，解得：令得：所以对任意恒成立所以为奇函数（2）任取，，且则因为当时，所以，即由第一问知，为奇函数所以，则，即所以在上单调递增，所以在区间的最大值为因为，为奇函数所以令得：令，得：，即（3）因为所以由（1）可知，为奇函数，由（2）知，所以即所以由（2）可知，在上单调递增所以整理得：，即当时，，解得：当时，，解集为当时，，解集为 当时，，解集为当时，，解集为综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为