2021-2022学年湖北省孝感市大悟县第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省孝感市大悟县第一中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由一元二次不等式可得，再由交集的定义即可得解.

【详解】由题意，，

，

∴.

故选：C.

2．全称量词命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由否定的定义判断即可.

【详解】“，”的否定为，

故选：B

3．与1°角终边相同的角的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】角的表示方法不一致，排除A， D；选项B表示错误；根据终边相同的角的公式得选C．

【详解】解：角的表示方法要保持一致，排除A， D；

选项B表示错误；

而180°角与角对应，于是1°角与角对应，根据终边相同的角的公式得选C．

故选：C

4．已知函数 (且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（    ）

A．  B．

C．1 D．2

【答案】D

【解析】根据指数函数的图象与性质，求出定点的坐标，再利用待定系数法求出幂函数，从而求出的值．

【详解】解：函数中，令，解得，

此时，所以定点；

设幂函数，

则，解得；

所以，

所以，

．

故选D．

【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题．

5．设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.

【详解】由可得，即，可推出，

当，时，不等式成立，但推不出，

根据充分和必要条件的定义可得“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

6．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性质及过特殊点，结合图象特征利用排除法求解.

【详解】令 ，

则，

所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故排除B、D，

再由时，函数值，可得图象过点，故排除C.

故选：A

7．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（    ）倍.（结果精确到.当较小时，）

A．1.26 B．1.42 C．2.68 D．3.12

【答案】A

【分析】把已知数据代入公式计算．

【详解】由题意，,

∴．

故选：A．

8．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．

【详解】∵对任意，，均有成立，

∴此时函数为减函数，

∵是偶函数，

∴当时，为增函数，

，

，，

∵，∴，

∵，

∴，

∴，

即，

故选：D.

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．若角，则角为第二象限角

B．将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是

C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角

D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为

【答案】BCD

【分析】A．根据的范围判断出所在象限；B．根据旋转方向判断出角度的正负；C．举例进行分析；D．根据扇形面积公式进行计算并判断.

【详解】A选项：，故A正确；

B选项：拨快是顺时针旋转，转过的角度是负角，故B错误；

C选项：时，为第一象限角，但不是第一象限角，故C错误；

D选项：，，故D错误.

故选：BCD.

10．下列运算中正确的是（   ）

A． B．当时，

C．若，则3. D．

【答案】BD

【分析】选项A由换底公式可判断；选项B由分数指数幂的运算可判断；选项C. 设，两边平方可判断；选项D由对数恒等式结合对数的值可判断

【详解】选项A. 由换底公式可得，故选项A不正确.

选项B. 当时， ,故选项B正确.

选项C. 设，两边平方可得，则，故，故选项C不正确.

选项D. ,故选项D正确.

故选：BD

11．某学生在复习整理做过的题目中，发现有错题，请你帮忙找出，错误的有（    ）

A．有最小值2

B．时，有最小值2

C．若集合仅有一个元素，则

D．设，为非零实数，且，则

【答案】ABC

【分析】根据基本不等式的应用条件可判断选项A和选项B的正误；讨论方程的根的情况可判断选项C的正误；运用作差法比较两式的大小，从而判断选项D的正误.

【详解】根据基本不等式的应用条件，时， 有最小值2

而满足的实数 不存在，所以选项A错误；

有最小值2的条件为或 ，选项B错误；

集合A仅有一个元素时，

时，问题转化为一元二次方程有两相等的实数根，

此时，解得；

，方程为一元一次方程只有一解，满足条件，

所以集合A仅有一个元素时，或，选项C错误；

时，

即，选项D正确.

故选：ABC.

12．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（    ）

A．函数是偶函数 B．函数是增函数

C．当时， D．当时，

【答案】BCD

【解析】根据幂函数过点，求出函数解析式，再结合幂函数的性质，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为幂函数的图象经过点，

所以，则，

所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错；

又，所以是增函数，故B正确；

因此当时，，故C正确；

当时，因为，，

则

，所以，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．函数的零点所在区间为，则 _________

【答案】

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断可得；

【详解】解：因为，所以函数在定义域上单调递增，且，，，所以，即函数的零点位于，即，

故答案为：

14．已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是，若扇形的周长是12cm，当______弧度时，该扇形有最大面积.

【答案】2

【分析】由扇形的面积公式得出，再由弧长公式求解即可.

【详解】设扇形的弧长为，则，即，扇形的面积为，即当，即时，该扇形有最大面积.

故答案为：

15．函数的单调递减区间是______.

【答案】

【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数、对数函数的单调性，利用复合函数单调性的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，函数，

令，即，解得，

又由函数的对称为，可得在区间单调递增，在单调递减，

又因为函数为定义域上的单调递减函数，

根据复合函数的单调性的判定方法，

可得函数的单调递减区间是.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，若有四个解，，满足，则的取值范围是______，的取值范围是______.

【答案】         

【分析】由函数的图像得出的取值范围，再由二次函数的对称性以及对勾函数的性质得出的取值范围.

【详解】函数的图像如下图所示，由图可知当有四个解时，

由二次函数的对称性可知，，是方程的解，则，即且，由对勾函数的性质可知在上单调递增，则，即的取值范围是.

故答案为：；

五、解答题

17．计算下列各式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)89

(2)

【分析】（1）由指数的运算性质化简；

（2）由对数的运算性质化简.

【详解】（1）原式；

（2）原式．

18．已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据交集的运算直接求解；

（2）根据必要条件列不等式求解即可.

【详解】（1）当时，，又

；

（2）若“”是“”的必要条件，

解得

19．已知函数是其定义域内的奇函数，且，

(1)求的表达式；

(2)设，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意和奇函数的定义，可求出的值，再结合，求得的值，从而得出的表达式；

（2）由题可得，从而得出，即可得出所求结果.

【详解】（1）解：是奇函数，

，

，解得：，

故，

又，则，所以，

.

（2）解：由（1）知，则，

，

.

20．年浙江省第十七届运动会将在金华举行.主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是万元，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（为常数，）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为万元.年的总维修费用为万元.记为年的总费用.（总费用=隔热层的建造成本费用使用年的能源消耗费用年的总维修费用）.

(1)求的表达式；

(2)当隔热层的厚度为多少厘米时，年的总费用最小？并求的最小值.

【答案】(1)，

(2)隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元

【分析】(1)通过寻找特殊情况求出参数k的值，再求出各种具体费用，最后求和.

(2)将构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求出其最小值，并判断取最小值时x的值.

【详解】（1）依题意，当时，.

∴，∴，故.

.

（2），

当且仅当，即当时取得最小值，

∴隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元.

21．函数的图像过点和

(1)求函数的解析式；

(2)当的定义域为，求的最大值及取最大值时的值．

【答案】(1)

(2)当时，函数的最大值为22

【分析】（1）解方程组即得解；

（2）由题得，再求出，再利用二次函数的图象和性质求解.

【详解】（1）解：由题得，，所以，.

所以

（2）

．

又因为函数的定义域为，

所以要使函数有意义，

则有所以，所以，

所以当，即时，．

所以当时，函数的最大值为22．

22．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.

(1)已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；

(2)若为定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.

【答案】(1)是，理由见解析

(2)

【分析】（1）由局部奇函数的定义解方程，即可判断；

（2）由得出，利用换元法结合二次函数的性质得出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，

方程，即有解，解得，所以为“局部奇函数”.

（2）当时，

可化为，

令，则，

从而关于的方程在上有解，即可保证为“局部奇函数”，

令，

①当时，在上有解，

由，即，解得；

②当时，在上有解等价于

此时无解.

则所求实数的取值范围是.