2021-2022学年湖南省彬州市安仁县第一中学高一下学期期末统考数学模拟（一）试题（解析版）

2021-2022学年湖南省彬州市安仁县第一中学高一下学期期末统考数学模拟（一）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．[—1，7]

C． D．（2，4）

【答案】A

【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式求集合A、B，再由集合的交运算求结果.

【详解】由题设，，或，

所以或.

故选：A

2．已知，则|z|＝（    ）

A．2 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据复数除法的法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.

【详解】由，

所以，

故选：C

3．若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.

【详解】因为，且，

所以，

因为，

所以向量与夹角的余弦值为，

故选：D

4．设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ）

A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1

B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1

C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立

D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

【答案】A

【分析】A.该选项正确；B. 事件A，B，C两两互斥，举例说明该选项错误；C. 若A和B互斥，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；D.只有当A和B互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.

【详解】A. 若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，所以该选项正确；

B. 事件A，B，C两两互斥，如 : 投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1点}，{向上的点数是2点}，{向上的点数是3点}，则A，B，C两两互斥，, P（A）＋P（B）＋P（C）＜1,所以该选项错误；

C. 若A和B互斥，则，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；

D.只有当A和B互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.

故选：A

5．函数在上的值域为（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.

【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为

故选：C

6．已知函数则方程的解的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】函数零点的个数即函数与函数的交点个数，结合图像分析．

【详解】令，得，则函数零点的个数即函数与函数的交点个数．

作出函数与函数的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．

故选：C．

7．“”是“函数的最小正周期为”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】函数的最小正周期为，得，所以，结合充分必要条件理解判断．

【详解】由得，其最小正周期为，所以充分性成立；

但函数的最小正周期为，得，所以，必要性不成立.

所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.

故选：A．

8．已知实数a，b满足，且，则的最小值为（    ）.

A．1 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】对已知等式进行变形，然后利用基本不等式进行求解即可.

【详解】由，

，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：C

二、多选题

9．病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（    ）

A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数

B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数

C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数

D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数

【答案】BCD

【分析】根据直方图的形态可得甲组的平均数大于中位数，且都小于7，乙组的平均数小于中位数，且都大于7，进而可得.

【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，

同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，

故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误；

甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B正确；

甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确；

乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D正确.

故选：BCD.

10．在锐角中，内角对应的边分别为，已知，，则的面积可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据锐角三角形的条件，求出的范围，然后利用正弦定理将另两边表示出来，最后借助于面积公式，将所求表示为角的三角函数，求值域即可．

【详解】解：设边的对角为，由锐角，结合得：，

解得，又，由正弦定理得，又，，

所以，所以，，

故①，

因为，故，所以，故，

所以①式的取值范围是，即．

故选：BC．

11．定义在上的函数满足在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．在上单调

D．函数在上可能有2023个零点

【答案】AC

【分析】由，且图象关于点对称，得到的周期为4，结合满足在上单调递增，结合周期性与对称性得到在单调递减，分别判定选项即可.

【详解】所以的对称轴为，且，又图象关于点对称，则，所以，，所以，所以，所以的周期为4，所以为的对称中心，所以奇函数，且定义域为，所以，所以A正确；

根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误；

函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图象关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；

对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误.

故选：AC.

12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．异面直线QP与A1C1所成的角为45°

B．A1D⊥平面AQP

C．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形

D．点M在线段BC1上运动，则三棱锥A﹣MPQ的体积不变

【答案】CD

【分析】根据题意画出对应的图形，由异面直线所成的角判断A，根据向量的垂直判断B，作出截面在正方体中判断C，由三棱锥体积公式计算体积判断D.

【详解】对于A，连接,， 如图1所示：

因为P, Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ// BC1，所以∠A1C1B是异面直线QP与A1C1所成的角，

又，所以∠A1C1B =60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°，故选项A错误；

对于B，建立空间直角坐标系，如图2所示：

设正方体的棱长为1，则，

所以，所以，

所以与不垂直，即与不垂直，所以A1D与平面AQP不垂直，故B错误；

对于C，连接AD1，D1Q, 则四边形APQD1是平面A PQ截正方体所得的截面，如图3所示:

连接BC1，则BC1// AD1，且BC1=AD1，

又PQ// BC1，且PQ=BC1，所以PQ// AD1，且，

所以四边形APQD1是梯形，又AP=D1Q，所以四边形APQD1是等腰梯形，故选项C正确；

对于D，如图4所示，

设正方体的棱长为a，因为PQ // BC1，所以点M到PQ的距离为，

点A到平面MPQ的距离为a，所以三棱锥A-MPQ的体积为

，是定值，故选项D正确.

故选：CD

三、填空题

13．求值：___________.

【答案】.

【分析】根据指数幂的运算性质，结合对数的运算性质进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

14．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________．

【答案】0.92##

【分析】先求两个都没有解决的概率，然后由对立事件的概率可得.

【详解】解：由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是．那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1-0.08=0.92.

故答案为：0.92

15．在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.

【答案】

【分析】取的中点，连接，，根据面面垂直性质可证平面，

则直线PC与平面ABCE所成角为．

【详解】取的中点，连接，，

∵且为的中点，∴，

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

则直线PC与平面ABCE所成角为

，

即，

所以.

故答案为：．

16．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对，，使得，则实数m的取值范围为______．

【答案】

【分析】先求出时，，，然后解不等式，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，可知时，为增函数，所以，

又是上的奇函数，所以时，，

又由在上的最大值为，

所以，，使得，

所以.

故答案为．

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.

四、解答题

17．已知复数，，其中为虚数单位．

(1)若是实数，求的值；

(2)当时，求复数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）虚部为0即可；（2）分母实数化即可

【详解】（1）若是实数,则,即

（2）当

所以

18．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

(1)求角的值：

(2)当时，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，求得，即可求解；

（2）由余弦定理得到，代入已知条件，求得，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理可得 ，

即，

即,

又因为，

所以，

因为，可得，所以，

又由，所以.

（2）解：根据（1）知，可得，

由余弦定理可知，

因为，可得，解得，

所以三角形面积为

19．2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．

(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮面试，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．

【答案】(1)中位数为73.33，平均数为73.5

(2)

【分析】(1) 平均数为每个小矩形面积乘以中点横坐标之积的和，中位数为左右面积相等的点的横坐标；

(2)根据分层抽样先确定每组抽取的人数，再计算概率.

【详解】（1）平均数为，

设中位数为x，则，解得

（2）根据分层抽样的方法抽取的6名学生，[80,90)有4人，[90,100]有2人，

所以90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.

20．如图，在中，已知为线段上一点，.

(1)若，求实数，的值；

(2)若，，，且与的夹角为120°，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据平面向量基本定理可得，整理可得结果；（2）根据平面向量基本定理可求得，，根据数量积的运算法则代入模长和夹角，整理可求得结果.

【详解】（1）由得：

，∵

，

（2）由得：

∴

又，，且与的夹角为120°，

则

所以

21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，即可证明平面平面；

（2）根据图中的几何关系，求出四边形的面积，根据是的中点，即可求解．

【详解】（1）证明：由题意，，

，

平面平面，平面，平面平面，

平面，

又平面，

平面平面；

（2）解：设的中点为，连接，

，所以是等腰三角形，

，即是梯形底边上的高，，

由题意知，，所以，

是的中点，到底面的距离为，

四棱锥的体积为；

综上，四棱锥的体积为．

22．已知函数．

(1)当时，求函数在的值域；

(2)已知，若存在两个不同的正数a，b，当函数的定义域为时，的值域为，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）换元法，结合复合函数单调性求解函数值域；（2）换元后，结合二次函数对称轴得到单调递增，从而得到方程组，从而得到可看作方程的两个根，利用二次函数根的分布得到不等式组，求出实数k的取值范围.

【详解】（1）当时，，

令，

则，

根据复合函数单调性可知，在上单调递增，

故，所以函数在的值域为

（2）因为函数的定义域为，

令，则，

则

因为，所以对称轴，

故在上单调递增，则单调递增，

因为的值域为，

所以，即，

故可看作方程的两个根，

由于为正数，所以，

则要满足，解得：，

故实数k的取值范围是