2021-2022学年吉林省四平市第一高级中学高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年吉林省四平市第一高级中学高一上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．角度化成弧度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合，即可求解.

【详解】根据题意，.

故选：A.

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求.

【详解】由题设，，

∴.

故选：C

3．若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据角终边上的一点以及，简单计算，可得结果.

【详解】由题可知：角的终边经过点

则

故选：A

【点睛】本题主要考查角的三角函数的定义，掌握公式，属基础题.

4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数的单调性证明即得解.

【详解】解：，，

所以.

故选：B

5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据集合并集的定义，则即可求解．

【详解】因为，

又，则

解得

故选：A

6．已知为第四象限角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据为第四象限角且可得：，然后利用完全平方即可求解.

【详解】因为为第四象限角且，所以，

也即，将两边同时平方可得：

，所以，

则，

故选：.

7．已知函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，结合分段函数的单调性，以及指数、对数的图像性质，即可求解.

【详解】根据题意，易知，解得.

故选：C.

8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的值域知，是函数值域的子集，从而得到关于的不等式组，解该不等式组可得答案．

【详解】设，根据题意，

∴，解得，

∴实数的取值范围为．

故选：B．

9．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性得到，再解不等式组即得解.

【详解】解：由题得.

因为在上单调递减，并且，

所以，所以或.

故选：D

10．已知实数满足不等式，则函数取最小值时的值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式得，再化简函数的解析式换元得到二次函数，利用二次函数的图象和性质求解.

【详解】解：由题得，

所以，

所以，

所以.

,

设，

所以，

所以. 此时.

故选：C

二、多选题

11．已知角是第二象限角，则角所在的象限可能为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】AC

【分析】用不等式表出第二象限角的范围，再求得的范围后判断．

【详解】角是第二象限角，则，

，

为奇数时，是第三象限角，为偶数时，是第一象限角，

故选：AC．

12．下列命题为真命题的是（    ）

A．若函数在和上都单调递减，则在定义域内单调递减

B．“，”的否定是“，”

C．“或”是“”的充要条件

D．“，”的否定是“，”

【答案】BC

【分析】根据函数的单调性，和含有量词的命题的否定，以及充要条件的定义，即可判断正误.

【详解】对于A，函数在和上都单调递减，但是在定义域内不单调，所以A不是真命题；

对于B，命题“”是一个全称量词命题，它的否定是“”，所 以B是真命题；

对于C，因为等价于或，所以“或”是“”的充要条件，所以C是真命题；

对于D，命题“”是一个存在量词命题，它的否定是“，”，所以D不是真命题；

故选：BC.

13．已知函数是奇函数，且满足，当时，，则函数在上的零点为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意求出函数的周期和对称轴，根据函数的性质作图，即可分析出函数的零点.

【详解】解：函数是奇函数，

且满足，

则，

，即函数的周期为4，对称轴为，

当时，，，

由题意作出函数的图像，如图所示，

可知函数在上的零点为：，，0，，，

故选：ABD.

14．设，函数（），则（    ）

A．函数的最小值是0 B．函数的最大值是2

C．函数在上递增 D．函数在上递减

【答案】BCD

【分析】化简函数的表达式，再分析其性质，逐项判断作答.

【详解】令函数，，显然，在上单调递增，

而，当时，，即，则有，

当时，在上单调递增，，其值域为，

当时，在上单调递减，，其值域为，

因此，函数的值域是，A不正确；B，C，D都正确.

故选：BCD

三、填空题

15．已知不等式的解集为或，则______.

【答案】

【分析】由题意可知，是一元二次方程的两根，由韦达定理即可得出答案.

【详解】因为不等式的解集为或，

所以是一元二次方程的两根，

所以，则.

则.

故答案为：.

16．已知，则______.

【答案】

【分析】利用函数的解析式可求得的值.

【详解】因为，则.

故答案为：.

17．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】结合已知条件，由对数型复合函数单调性和定义域即可求解.

【详解】由题意可知，且，所以在上单调递减，

因为函数在上单调递减，

由复合函数单调性可知，，

又由对数型函数定义域可知，，即，

综上可知，.

故答案为：.

四、双空题

18．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为________．

【答案】     4     2

【分析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可.

【详解】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有，

，

此时，，．

故答案为：；

五、解答题

19．计算下列各式的值:

(1)；

(2)已知角，且.求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；

（2）由题意可得，在根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得到的方程，并根据的范围求解.

【详解】（1）

.

（2）由，有，

则，整理为.

所以，解得或.

又由，有，可得.

20．已知集合，，．

（1）求；；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）或，；（2）.

【分析】（1）求出或，即得解；

（2）解不等式组即得解.

【详解】（1）由题得或，所以或，

，所以.

（2）因为是的充分不必要条件，

所以，解得.

所以实数的取值范围是.

21．某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的类药品．该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元，每生产千件需另投入成本为（万元），每千件药品售价为60万元，此类药品年生产量不超过280千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.

（1）求公司生产类药品当年所获利润（万元）的最大值；

（2）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润.

【答案】（1）3840万元；（2）当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元．

【解析】（1）先由题意，得到，利润等于销售收入减去成本，由此即可得出函数关系式，再由配方法，即可求出最值；

（2）由（1）得出平均利润为，化简整理，利用基本不等式，即可求出最值，以及此时的.

【详解】（1）由题可得，

，

当且仅当时，，

所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3840万元；

（2）可知平均利润为 .

当且仅当，即时等号成立

所以当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元．

【点睛】易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．已知幂函数在上为增函数.

(1)求实数的值；

(2)求函数的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解方程再检验即得解；

（2）令，再求函数的值域即得解.

【详解】（1）解：由题得或.

当时，在上为增函数，符合题意；

当时，在上为减函数，不符合题意.

综上所述.

（2）解：由题得，

令，

抛物线的对称轴为，所以.

所以函数的值域为.

23．已知函数.

(1)当时，解关于的不等式；

(2)请判断函数是否可能有两个零点，并说明理由；

(3)设，若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)不可能，理由见解析

(3)

【分析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式的解集.

（2）由，求得，，但推出矛盾，由此判断没有两个零点.

（3）根据函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得的取值范围.

【详解】（1）当时，不等式可化为，

有，有

解得，

故不等式，的解集为.

（2）令，有，

有，，

，，

则，

若函数有两个零点，记为，必有，，

且有，此不等式组无解，

故函数不可能有两个零点.

（3）当，，时，，函数单调递减，

有，

有，

有

有，整理为，

由对任意的恒成立，必有

解得，

又由，可得，

由上知实数的取值范围为.