2021-2022学年江苏省常州市前黄高级中学高一下学期3月期初调研数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省常州市前黄高级中学高一下学期3月期初调研数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.

【详解】因为，所以，

所以复数所对应的点的坐标为.

故选:D.

2．已知，且（    ）

A．B B． C． D．

【答案】D

【分析】按照交集和补集直接运算即可.

【详解】由可得.

故选：D.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值.

【详解】，

，

故选：A.

【点睛】该题主要考查诱导公式､二倍角的余弦公式的应用，属于中档题目.

4．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数零点存在性定理判断即可．

【详解】，，，故零点所在区间为

故选：B

5．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，由可排除B、D；由当时，，可排除C；即可得解.

【详解】令，

则，

所以函数为奇函数，可排除B、D；

当时，，，所以，故排除C.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题.

6．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角变换化简，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项.

【详解】，

，

，

因为，故.

故，

故选：C.

7．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在中用余弦定理求出BD长，再由余弦定理计算即可得解.

【详解】在中，设，依题意，，而，

由余弦定理得：，而，解得，

再由余弦定理得.

故选：B

8．已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得不等 式 都恒成立，则实数 的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】探讨函数性质，求出最大值，再借助关于a的函数单调性列式计算作答.

【详解】依题意， ，则是上的奇函数，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，则，

由奇函数性质知，函数 在上的最大值是，

依题意，存在 ，，令，显然是一次型函数，

因此，或，解得或，

所以实数 的取值范围为.

故选：D

二、多选题

9．是虚数单位，下列说法中正确的有（    ）

A．若复数满足，则

B．若复数，满足，则

C．若复数，则可能是纯虚数

D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限

【答案】AD

【解析】A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；

B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.

【详解】A选项，设，则其共轭复数为，

则，所以，即；A正确；

B选项，若，，满足，但不为；B错；

C选项，若复数表示纯虚数，需要实部为，即，但此时复数表示实数，故C错；

D选项，设，则，

所以，解得或，则或，

所以其对应的点分别为或，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确.

故选：AD.

10．若定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（    ）

A．在上单调递增 B．为偶函数

C．的最小正周期 D．所有零点的集合为

【答案】BCD

【分析】题目考察函数奇偶性，周期性和对称性的综合应用，结合函数的三个性质，根据时，可以得到函数在上的函数性质，从而判断各选项的正确性

【详解】由题得：，令，则

，所以，所以的最小正周期，故C正确；

当时，，因为为定义在R上的奇函数，所以当时，，所以在上单调递减，因为的最小正周期，所以在上单调递减，故A错误；

当时，，结合周期性可得：，故D正确；

由得：图像关于对称，是将图像向左平移一个单位得到的，所以图像关于轴对称，所以是偶函数，故B选项正确；

故选：BCD

11．下列选项其中错误的是（    ）

A．对于△，若，则△为锐角三角形

B．对于△，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，

则

C．P在△所在平面内，若，则P是△的重心

D．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角

【答案】AD

【分析】A、B应用正余弦定理的边角关系即可判断正误；C若为中点，易得，结合已知可得的关系，进而判断P是△的何种心；D当，同向共线时也成立.

【详解】A：由知：，由正弦定理知：，

由余弦定理易知：，即，故错误；

B：由及正弦定理知：，根据三角形中大边对大角可知：，正确；

C：若为中点，则，又知：，即共线且，即P是△的重心，正确；

D：当非零向量，同向共线时，，此时，的夹角为0，错误.

故选：AD

12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（　　）

A．函数的值域是 B．函数是周期函数

C．函数的图象关于对称 D．方程只有一个实数根

【答案】AD

【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.

【详解】由题得函数的定义域为,

，

所以函数为偶函数，

当时，；

当时，；

当时，；

所以函数的图象如图所示，

所以函数的图象如图所示，

所以函数的值域是，故选项A正确；

由函数的图象得到不是周期函数，

故选项B不正确；

由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；

对于方程，

当时，，方程有一个实数根；

当时，，此时，此时方程没有实数根；

当时，，此时，此时方程没有实数根；

故方程只有一个实数根，故选项D正确.

故选：AD

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数的图象，研究函数的问题，经常要利用数形结合的思想分析解答.

三、填空题

13．已知是虚数单位，若复数满足，则 ________.

【答案】

【分析】先计算复数，再计算复数的模.

【详解】

故答案为

【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.

14．已知锐角的内角，，对边的边长分别是，，，且，，，则的面积为______.

【答案】

【分析】由三角函数恒等公式求得，用正弦定理求出第二条边，然后再由三角形面积公式求得面积．

【详解】∵的内角，，都是锐角，∴，，，

，

又，∴，

同理，，

由得，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换，解题关键是选用恰当的公式进行计算．

15．在中，内角的对边分别为，若，则的取值范围为____．

【答案】

【分析】先由得，然后利用正弦定理得，再由，求出角的范围，从而可得的取值范围.

【详解】解：在中，因为，所以，所以．

由正弦定理及题设得

，

由得，故，

所以的取值范围为．

故答案为：

【点睛】本小题考查解三角形等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性，属于基础题．

16．已知函数，，若关于的方程有6个实根，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】作出函数图像，求的值域，利用换元法转化为两个函数图像交点问题，利用数形结合进行求解即可.

【详解】当或时不合题意，

当时，，

当时，函数的图像如下：

，

设方程，

当时方程有3根，，，其中，，

所以当分别有2根，有6根.

当或时，不合题意.

故答案为:

四、解答题

17．已知复数.

（1）求复数z的模；

（2）若（m，），求m和n的值.

【答案】（1）5；（2）．

【分析】（1）根据复数的代数形式的四则运算及复数的模的计算公式求解即可；

（2）由（1）知，由此可得，解出即可．

【详解】解：（1），

则；

（2）由（1）知，，

∴，

即，

∴，

解得．

【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模与共轭复数，属于基础题．

18．已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．

【答案】（1） (k∈Z)；（2）．

【分析】（1）根据题意，代入数量积公式表示出，然后化简得，利用周期计算得，利用整体法计算单调增区间；（2）利用平移变换得函数的解析式，利用整体法计算值域.

【详解】（1）由题意可得，，

.

由题意知，，得，则，由，解得，∴的单调递增区间为．

（2）将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，

纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到的图象．

∵，∴，故函数的值域为.

【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到的形式.

19．在①，②，③三个条件中，任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．

中，，___________，M为内部一点，

（1）判断的形状．

（2）求的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分

【答案】选择见解析；（1）直角三角形；（2）．

【分析】选条件①：

（1）把整理得到，求出，即可求解；

（2）设，则.在中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解；

选条件②：

（1）把用正弦定理转化为：,求出，即可求解.

（2）设，则.在中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解；

选条件③：

（1）把利用正弦定理转化为：，求出，即可求解.

（2）设，则.在中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解；

【详解】选条件①：

（1）.

则，即，所以，

所以,即,所以，

所以，所以，所以为直角三角形；

（2）

设，则.

在中，利用余弦定理可得：因为，故，

因为，所以，代入化简得：

，所以，

解得：

因为，所以.

选条件②：

（1）.

利用正弦定理得：,即，

所以或.

因为，所以，所以，即，所以为直角三角形；

（2）设，则.

在中，利用余弦定理可得：因为，故，

因为，所以，代入化简得：

，所以，

解得：

因为，所以.

选条件③：

（1）.

利用正弦定理可得：,即，化简得：.

所以，所以，所以，所以为直角三角形；

（2）设，则.

在中，利用余弦定理可得：因为，故，

因为，所以，代入化简得：

，所以，

解得：

因为，所以.

20．已知函数为偶函数.

(1)求实数的值；

(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)设函数的零点为，求证：.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据偶函数的定义求得的值.

（2）利用分离常数法，结合换元法、函数的单调性来求得的取值范围.

（3）先求得的取值范围，结合函数的单调性证得不等式成立.

【详解】（1），

由于为偶函数，

所以，即，

所以，.

（2）依题意关于的不等式恒成立，

即，

，

令，当时等号成立，

由于是单调递增函数，，即，

所以.

（3）函数的零点为，

即，

函数在上递增，，

，

所以，

对任意，

，

其中，所以，即在上递增，

所以，

即.

21．由于年月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在月日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（为长度单位）．陈某准备过点修建一条长椅（点、分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．

(1)求点到点的距离；

(2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．

【答案】(1)

(2)当时，三角形区域面积取最小值

【分析】（1）连接、，计算出，利用余弦定理可求得的长；计算出，可得出，利用正弦定理可求得的长，再利用勾股定理可求得的长；

（2）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，即可求得面积的最小值.

【详解】（1）解：连接、，在中，因为，，则，

由余弦定理可得：，所以，.

在中，由余弦定理可得，．

在中，，

由正弦定理可得，解得．

在直角中，，所以，.

（2）解：因为，

．

因为，所以，，

当且仅当时，等号成立，因此，．

22．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．

(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由

(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：

(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．

【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和；

(2)；

(3).

【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答.

(2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.

(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.

【详解】（1）依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或，

所以 是“不动点” 函数，不动点是2和.

（2）因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得，

所以实数的值是.

（3）设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一，

由得：，即，整理得：，

令，显然函数在上单调递增，则，，则，

由得：，即，整理得：，

令，显然函数在上单调递增，，，则，

综上得：，

所以实数的取值范围.

【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.