2021-2022学年江苏省苏州市三校（苏州大学附属中学、苏州第一中学校、吴江中学）高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省苏州市三校（苏州大学附属中学、苏州第一中学校、吴江中学）高一上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，全集为R，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】先根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据集合的补集定义即可求出．

【详解】因为，所以或．

故选：D．

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及集合的补集，属于容易题．

2．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为      

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【答案】C

【分析】设扇形所在圆的半径为，得到，解得，即可得到扇形的弧长，得到答案.

【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，则扇形的弧长为，

所以，解得，所以扇形的弧长为，

故选C.

【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合指数、对数函数单调性，利用与0和1的大小比较即可求解

【详解】，即，

，即，

，即，

综上所述：，即

故选：A.

4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ）

A．2500 B．2600 C．2700 D．2800

【答案】B

【解析】根据题中函数关系式，令和，分别求出对应的，即可得出结果.

【详解】因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，

当一条鲑鱼静止时，，此时，则，即耗氧量为；

当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，所以，则，即耗氧量为，

因此当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为.

故选：B.

5．函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先判断函数为偶函数排除D；再根据当时， ，排除AC得到答案.

【详解】，

,

所以为偶函数，排除D；

当时， ，排除AC；

故选：B.

6．已知，且，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．6 D．9

【答案】A

【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.

【详解】因为，故，

故，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为3.

故选：A.

【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

7．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器集到如下一组数据：

在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（    ）A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据选项中函数的递增特征进行判断即可.

【详解】根据数据可以知道：

当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；

当自变量增加到8时，y的增加也不是很多，所以不符合指数的增加特征，排除B；

当x增加时，y是缓慢增加，并没有靠近一常数的特征，所以排除D.

故选：C

8．已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】作出函数的图像，原问题转化为函数与共有6个交点，等价于与有三个交点，结合图像得出其范围.

【详解】解：作出函数的图像如下：

数，且函数有6个零点等价于有6个解，

等价于或共有6个解

等价于函数与共有6个交点，

由图可得与有三个交点，所以与有三个交点

则直线应位于之间，

所以

故选：C.

【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

二、多选题

9．函数的零点所在区间可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】函数的零点所在区间等价于函数与图象交点横坐标所在的区间，数形结合即可求解.

【详解】令可得，

所以函数的零点所在区间等价于函数与图象交点横坐标所在的区间，

作出与图象如图：

由图知函数与图象三个交点横坐标分别位于区间、、

，

所以函数的零点所在区间可能为、、，

故选：ABC

【点睛】方法点睛：求函数零点的方法

（1）直接法：令，直接解方程即可求零点；

（2）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的横坐标就是函数的零点或将函数拆成两个函数，和的形式，根据等价于

则函数的零点就是函数和的图象交点横坐标；

10．下列判断或计算正确的是（    ）

A．，使得 B．

C． D．

【答案】BC

【解析】对于A，由余弦函数的值域进行判断；对于B，利用诱导公式和三角函数的符号进行判断；对于C，利用诱导公式进行判断；对于D，利用同角三角函数的关系化简即可判断

【详解】解：对于A，由得，而，所以无解，所以A错误；

对于B，，所以B正确；

对于C， ，所以C正确；

对于D，，所以D错误，

故选：BC

11．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】先求得，然后结合对数运算以及基本不等式判断出正确答案.

【详解】依题意，，

所以，.

，A正确.

，B正确.

，C错误.

，，

,

所以，D正确.

故选：ABD

12．设函数，且，下列说法正确的是（    ）

A．函数有最小值0，无最大值

B．函数与直线的图像有两个不同的公共点

C．若，则

D．若，则的取值范围是

【答案】ACD

【解析】由题意画出图像，由图像可知的最小值为0，无最大值，且图像与只有一个公共点，从而可对选项A,B进行判断，，且可知在图像中如图，，且，，且，由此可对C选项进行判断，由图可知，，且，，从而由得，则，再由，可求得其范围

【详解】解：由题意画出图像.

A项，当时，，无最大值，所以A正确

B项，与只有一个公共点，所以B错误

C项， ，且可知，在图像中如图，，且，，且，则，则，所以，所以，所以C正确

对于D，由图可知，，且，，

则可写为，

，

，

所以，

所以，

因为，所以，

所以

所以D正确，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数的图像和性质的应用，解题的关键是准确的画出函数的图像，利用数形结合的思想解题，属于中档题

三、填空题

13．函数的定义域为________．

【答案】

【解析】保证真数大于零，分母不等于0，根号下数大于等于0，即可

【详解】，得

故答案为：

14．若角的终边经过点，则___________.

【答案】

【解析】利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.

【详解】由三角函数的定义可得，

由诱导公式可得.

故答案为：.

15．已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【解析】根据幂函数的定义，可求得a值，代入点坐标，可求得b值，根据的奇偶性和单调性，化简整理，即可得答案.

【详解】因为为幂函数，所以，解得a=2

所以，又在上，代入解得，

所以，为奇函数

因为，所以，

因为在R上为单调增函数，

所以，解得，

故答案为：

16．已知函数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】数形结合，由条件得在上有个不相等的实数根，结合图象分析根的个数列不等式求解即可.

【详解】作出函数图象如图所示：

由，得，

所以，且，

若，即在上有个不相等的实数根，

则 或，

解得.

故答案为：

【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：

（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；

（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.

四、解答题

17．求值：

(1)

(2)

【答案】(1)6

(2)0

【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；

(2)根据诱导公式化简求值即可.

【详解】（1）

；

（2）

．

18．已知集合，集合，集合.

（1）求的子集的个数；

（2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）8个；（2）.

【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数可得答案；

（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案.

【详解】（1）由解得，所以，

又因为，所以，

所以的子集的个数为个.

（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，

当时，，解得；

当时，解得，

综上所述：.

19．（1）已知求的值

（2）已知，且为第四象限角，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由诱导公式得，进而由，将所求的式子化为二次齐次式，进而得到含的式子，从而得解

（2）由，结合角的范围可得解.

【详解】（1）由，得，

所以，

.

（2），

所以，

又为第四象限角，所以，

所以.

20．已知函数，x∈[，9].

(1)当a=0时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由题意可得，结合定义域，逐步可得函数的值域；

（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.

【详解】（1）当a=0时，，x∈[，9].

∴，，

∴，

∴函数f(x)的值域为；

（2）令，

即函数的最小值为，

函数图象的对称轴为，

当时，，

解得；

当时，，

解得；

当时，，

解得（舍）；

综上，实数a的值为或.

21．某工厂生产一新款智能迷你音箱，每日的成本（单位：万元）与日产量x（，单位：千只）的关系满足．每日的销售额（单位：万元）与日产量x的关系满足：当时，，当时，；当时，．已知每日的利润（单位：万元）．

（1）求的值，并将该产品每日的利润L（万元）表示为日产量x（千只）的函数；

（2）当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

【答案】（1）18，；（2）当日产量为13千只时，每日的利润可以达到最大值为20万元.

【分析】（1）由题意可知，时，，从而可求出的值，由利润可求得每日的利润L（万元）表示为日产量x（千只）的函数；

（2）分，7<x<16和三种情况，求三个函数的最大值，再作比较可求出利润的最大值

【详解】（1）当x=7时，，解得k=18.

（2）当，时，，在上单调递增，

所以当x=7时，；

当7<x<16，时，，

因为，

当且仅当，即x=13时，；

当，时，在上单调递减，

所以当时，.

综上，当时，.

答：当日产量为13千只时，每日的利润可以达到最大值为20万元.

22．对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.

（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；

（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.

①求实数a的取值范围；

②设g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.

【答案】（1）－1和；（2）①；②证明见解析.

【分析】（1）直接利用不动点的定义，解方程f(x)＝x即可；

（2）①根据不动点的定义，ax2－x＋1＝0的两根满足x1＜2＜x2，利用零点存在定理得到a(4a－1)＜0，求参数的范围；②设p(x)＝ax2－x＋1，根据题意说明设p(x)＝0有两个不等实根m、n，不妨设m<n,从而判断；记h(x)＝ax－(ax2－x＋1)，判断1是方程g(x)的一个不动点；

说明h(x)的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，利用函数的单调性，推出g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.

【详解】（1）当a＝－2时，f(x)＝－2x2＋1.方程f(x)＝x可化为2x2＋x－1＝0，解得x＝－1或x＝，

所以f(x)的不动点为－1和.

（2）①因为函数f(x)有两个不动点x1，x2，所以方程f(x)＝x，即ax2－x＋1＝0的两个实数根为x1，x2，

记p(x)＝ax2－x＋1，则p(x)的零点为x1和x2，因为x1＜2＜x2，所以a·p(2)＜0，

即a(4a－1)＜0，解得0＜a＜.所以实数a的取值范围为

②因为g(x)＝loga[f(x)－x]＝loga(ax2－x＋1).

方程g(x)＝x可化为loga(ax2－x＋1)＝x，即

因为0＜a＜，△＝1－4a＞0，设p(x)＝ax2－x＋1，所以p(x)＝0有两个不相等的实数根.

设p(x)＝ax2－x＋1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n.

因为函数p(x)＝ax2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，p(1)＝a＞0，＞1，p()＝1＞0，

所以1＜m＜＜n＜.

记h(x)＝ax－(ax2－x＋1)，因为h(1)＝0，且p(1)＝a＞0，所以x＝1是方程g(x)＝x的实数根，

所以1是g(x)的一个不动点h(n)＝an－(an2－n＋1)＝an＞0，因为0＜a＜，所以＞4，h()＝a－1＜a4－1＜0，

且h(x)的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，所以x0∈(n，)，使得h(x0)＝0，

又因为p(x)在(n，)上单调递增，所以p(x0)＞p(n)＝0，所以x0是g(x)的一个不动点，

综上，g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点.

【点睛】利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.