2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一下学期期末数学试题

一、填空题

1．函数的最小正周期为__________.

【答案】

【详解】利用正切型函数的最小正周期公式可知：

函数的最小正周期为.

2．在等差数列中，若，且，则_____．

【答案】

【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.

【详解】设公差为，依题意得，

即解得，所以，

故答案为：2.

3．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．

【答案】

【详解】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为

，故答案为.

4．已知，，则______.

【答案】

【分析】利用两角和差余弦公式将和分别展开，再将两式进行加和减，可求得和，两式相除即可求得结果.

【详解】…①，

…②，

①②得：，解得：；

①②得：，解得：

.

故答案为：.

【点睛】本题考查两角和差余弦公式的应用，涉及到同角三角函数商数关系的应用，属于基础题.

5．已知向量，则向量在向量方向上的投影的坐标为______．

【答案】##(0.8,0.6)

【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解.

【详解】由题得，

所以向量在向量方向上的投影数量为，

与向量的同向单位向量为，

所以向量在向量方向上的投影的坐标为，

故答案为: .

6．方程在的解为__________.

【答案】

【分析】先由余弦的二倍角公式变形可得，再解关于的二次方程，再在求解即可.

【详解】解：因为，所以，

解得或，

又，

所以或，

故答案为：.

【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式，重点考查了解三角方程，属基础题.

7．已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______．

【答案】

【分析】根据题意求出，然后根据是实系数一元二次方程的一个根即可求解.

【详解】设，因为，

所以，且复数在第一象限，

又复数满足，所以，

因为是实系数一元二次方程的一个根，

则有，也即，

所以，则，

故答案为：.

8．设数列的前项和为，若，则______．

【答案】

【分析】根据数列的关系求出数列的通项公式以及前项和为，再用极限求解.

【详解】当时，即，

当时，

得到，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以，

所以，

故答案为：3.

9．已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为_____．

【答案】##0.68

【分析】找出基本事件总数和满足条件的基本事件数，根据古典概型公式求解即可.

【详解】由题，甲袋中共有10个球，乙袋中共有10个球，

则从两袋中各取一球，基本事件总数为，

取出的2个球颜色不同，可能为：（甲白，乙红），（甲白，乙黑），（甲红，乙白），（甲红，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙红），

则2个球颜色不同的基本事件数为，

所以，

故答案为：

10．如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__．

【答案】

【分析】利用平面向量的线性运算可得出，运用平面向量数量积的运算性质解决即可.

【详解】由题知，中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，

所以为的中点，，

因为，

所以

,

因为，即

所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，

所以的取值范围是，

故答案为：

11．已知数列和满足：①；②和中有且仅有一个成立，那么的值为__．

【答案】

【分析】根据数列的递推公式结合累加法可求解.

【详解】若成立，则

以上式子累加得，又因为，所以，

又因为，所以；

若成立，则，

因为

以上式子累加得，又因为，所以，

所以；

故答案为：225.

12．已知(为虚数单位)．设集合，则集合中的元素在复平面上对应点所形成图形的面积为______．

【答案】

【分析】根据复数的运算得到中的元素在复平面上对应点的坐标表示，并求出范围，确定表示的区域即可求解.

【详解】由题可知，

所以，

设中的元素在复平面上对应的点为，

则，

因为，所以

所以，

又由得，

所以，

所以点在复平面内围成的区域如下：

所以区域面积等于，

故答案为: .

二、单选题

13．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是

A．频率就是概率 B．频率是随机的，与试验次数无关

C．概率是稳定的，与试验次数无关 D．概率是随机的，与试验次数有关

【答案】C

【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.

【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，

事件A出现的次数除以总数，是变化的

概率指的是： 在大量重复进行同一个实验时，

事件A发生的频率总接近于某个常数，

这个常数就是事件A的概率，是不变的

故选：C

【点睛】本题考查频率与概率的区别，属基础题.

14．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可.

【详解】

将函数向左平移个单位得：

故选：B

15．在四边形中，，若，且，则（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性表示以及运算结合图形求解.

【详解】

如图，过作，又因为，

所以四边形是平行四边形，

所以

又因为，

所以,

又因为，所以，

所以,所以.

故选:D.

16．设实数，给出如下两个命题：

①存在，使得，，，按某种顺序可组成等差数列；

②存在，使得，，，按某种顺序可组成等比数列．

则（    ）

A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题

C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题

【答案】D

【分析】根据等差数列、等比数列的定义结合同角三角函数的基本关系，三角恒等变换即可求解.

【详解】假设角与单位圆的交点为，

因为，所以，

则根据三角函数的定义可知，，，，

所以，，，中最小，最大，

若成等差数列，则，

即

即

即

因为，所以，则

所以，

而，故不成立，

所以，，，不可能按某种顺序组成等差数列；

若成等比数列，则，

即，因为，所以方程无解，

所以，，，不可能按某种顺序组成等比数列；

故选：D.

三、解答题

17．在中，角、、的对边分别为、、，且．

(1)求角的大小；

(2)若，的面积，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理即可求解；

（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

因为，所以，即，

因为，所以.

（2），所以，

由余弦定理得，

所以的周长为．

18．已知，且，复数为虚数单位）满足．

(1)求；

(2)若关于的方程有实根，求的所有可能值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)根据虚部等于零时复数为实数即可求解；(2)将原方程转化为，根据方程有实数根，分类讨论求解.

【详解】（1）

，因为，所以，

又，所以，即；

（2）因为，，所以，

设实根为，则，

所以，所以，

因为所以或，

若，则无实数解，舍去；

若，则，所以，

又由(1)知，所以，

所以或.

19．已知函数的部分图象如图所示，其中、分别为函数图象相邻的一个最高点和最低点，其横坐标分别为1和4，且．

(1)求的值，并求函数的单调增区间；

(2)记，求函数，的值域．

【答案】(1)，，；单调增区间为；

(2)

【分析】（1）首先根据函数的周期求得的值，设，，利用求得的值，然后通过代入点求得的值，进而通过解析式求解函数的单调增区间.

（2）首先通过（1）求得的解析式，进而通过三角函数恒等变换公式将其化简成正弦型函数，再通过函数性质求解函数值域即可.

【详解】（1）由图像得，即，所以，得.

设，，由，得，

又因为图像经过点，代入解析式得，

即，得，

因为，所以，所以函数，

令，，

解得，，

所以函数的单调增区间为；

（2）因为，

，

所以

．

因为，所以，

当，即时，取得最大值，最大值为；

当，即时，取得最小值，最小值为

所以．

20．如图，在中，为边上一点，且．

(1)设，求实数、的值；

(2)若，求的值；

(3)设点满足，求证：．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解；(2)利用数量积的运算律求解；(2)用基底表示出向量，再用数量积运算律表示出模长，即可得证.

【详解】（1）因为，所以，

所以，所以；

（2）

；

（3）因为，所以，

因为，，

,,

所以,

,

所以,即，得证.

21．对于无穷数列，设集合．若为有限集，则称数列为“数列”．

(1)已知数列满足，判断是否为“数列”，并说明理由；

(2)设函数的表达式为，数列满足．若为“数列”，求首项的值；

(3)设．若数列为“数列”，求实数的取值集合．

【答案】(1)是，理由见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据，计算即可；（2），当时，，分，两种情况讨即可；（3）当为有理数时，必存在，使得，则，因此集合中元素个数不超过，为有限集；为无理数时，用反证法证明解决即可.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，所以是“数列”；

（2）由题知，，

所以，

当时，，

因此当时，，

即，此时为“数列”，

当时，，

由得，...，

因此显然不是“数列”；

综上，；

（3）当为有理数时，必存在，使得，

则，

因此集合中元素个数不超过，为有限集；

当为无理数时，对任意，下用反证法证明，

若，即，

则或，其中，

则或，矛盾，所以，

因此集合必为无限集；

综上，的取值集合是全体有理数，即．