2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高一上学期第三次检测数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高一上学期第三次检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用交集定义去求即可解决

【详解】

则

故选：C

2．下列函数中，为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义逐一判断即可.

【详解】解：对于A，函数的定义域为，

因为，故函数不是奇函数；

对于B，函数的定义域为，

因为，所以函数为奇函数；

对于C，函数的定义域为，

因为，故函数不是奇函数；

对于D，的定义域为，

因为，故函数为偶函数.

故选：B.

3．函数的图像不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据指数函数的图象，再平移后得到 ，直接判断选项.

【详解】函数经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数，则经过一、三、四象限，不经过第二象限.

故选：B

4．已知直线的斜率为，且经过两条直线和的交点，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出两直线的交点坐标，再根据直线的点斜式方程即可得解.

【详解】解：联立，解得，即交点为，

所以直线的方程为为，即.

故选：A.

5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可以是（    ）

A．三棱锥 B．三棱柱

C．四棱锥 D．四棱柱

【答案】C

【分析】由三视图画出几何体，可知答案.

【详解】解析：由三视图得几何体为四棱锥（如图）.

故选：C.

6．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析每个数与的大小关系可得答案.

【详解】，.

故选：C.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性可排除选项A，B；根据函数在上的单调性可排除选项C，进而可得正确选项.

【详解】函数的定义域为且，关于原点对称，

因为，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项A，B，

当时，，

由在上单调递增，在上单调递减，

可得在上单调递增，排除选项C，

故选：D.

8．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对ABD利用特殊值即可判断；对C利用函数的定义逐一验证即可.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

即任取，总有，故C正确；

对于D中，当时，，故D错误．

故选：C．

9．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.

【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，

直线和之间的距离为：，

和之间的距离为：，

于是有：，

故选：B

10．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将平移到下底面与相交，利用弧中点得到，再由线面垂直证明线线垂直得到，即可得到与所成角.

【详解】如下图，取中点，连接.

因为是弧的中点，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

故即为与所成角.

因为为中点，，

所以.

因为，，

又，，

所以，

所以，即，

所以，

即与所成角的大小为.

故选：B.

11．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】C

【分析】根据点关于线的对称，可求，进而根据两点斜率公式即可求解.

【详解】设点关于直线对称的点为，则 ，解得 ，故 ，

反射线经过点,所以，即反射光线所在直线的斜率为4，

故选：C

12．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由条件得到该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，结合图象，根据，求得内切球的半径，即可求解.

【详解】当球为该圆锥的内切球时，此时球的半径最大，如图所示，

又由，则圆锥的高为，

设圆锥的内切球与圆锥相切于点，半径为，则，

可得，即，解得，

所以该球的体积为.

故选：A

二、填空题

13．若直线与平行，则______.

【答案】##

【分析】利用两直线平行列出关于的方程，解之即可求得的值

【详解】直线与平行，

则，解之得，经检验符合题意.

故答案为：

14．已知的三顶点为，则边上的中线所在的直线方程为_____________．

【答案】

【分析】求出边BC的中点，再借助直线两点式方程即可求出方程.

【详解】在中，，则边BC的中点D，

则有直线AD的方程为：，整理得：，

所以边上的中线所在的直线方程为：.

故答案为：y=x+1

15．函数的零点的个数为___________.

【答案】

【分析】函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解.

【详解】由题意，

即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像

数形结合可知，两个函数有3个交点

故函数的零点的个数是3

故答案为：3

16．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系 （ 为常数），若该果蔬在 的保鲜时间为216小时，在 的保鲜时间为8小时，那么在 时，该果蔬的保鲜时间为___________小时.

【答案】72

【分析】根据题意可求得，进而可求得，将代入中，即可求得答案.

【详解】由题意知当时， ；当 时， ，

则，整理可得，于是 ，

故当 时， ，

故答案为：72

三、解答题

17．已知函数，且.

(1)求实数的值；

(2)求函数在区间上的最值.

【答案】(1)

(2)最小值为，最大值为

【分析】（1）首先根据得到图像的对称轴，然后根据二次函数对称轴求解参数的值；

（2）直接根据二次函数的图像及其性质求解最值即可.

【详解】（1），

函数图像的对称轴为直线.

又，即.

（2）（2）由（1）知函数的图像开口向上，且对称轴为直线，

，函数的最小值为，

又，，

函数的最大值为.

18．如图，已知正方体的棱长为1，与交于点．

(1)求证：平面；

(2)求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）因为，由平面得，综合即可证得结论；

（2）由（1）易知为四棱锥的高，然后利用棱锥的体积公式求解即可．

【详解】（1）因为四边形为正方形，．

在正方体中，易知平面，

又平面，．

又，平面，

平面．

（2）由（1）易知为四棱锥的高，且，

又矩形的长和宽分别为，其面积，

．

19．已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)求函数的零点.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）函数定义域满足，解得答案.

（2）令，得到，令，则，解得答案.

【详解】（1）函数定义域满足：，，，即.

的定义域为.

（2）令，则，.

，令，则，解得或（舍去）.

，，符合题意，函数的零点为2.

20．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

(1)求出居民每月用水量（单位：吨）和当月水费（单位：元）之间的函数关系；

(2)若居民甲11月交纳的水费为54元，则居民甲11月的用水量为多少吨？

【答案】(1)

(2)居民甲11月的用水量为15吨

【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；

（2）由（1）分，，三种情况讨论即可的解．

【详解】（1）依题意可得，

当时，；

当时，；

当时，.

所求函数关系为

（2）由（1）可得，当时，，不符合题意；

当时，令，解得，符合题意；

当时，，不符合题意.

综上，居民甲11月的用水量为15吨.

21．如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.

(1)证明： 平面；

(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）欲证明 平面 ，只需证明平行于平面 内的一条直线即可；

（2）欲证明平面平面，只需证明其中的一个面经过垂直于另一个面的直线即可.

【详解】（1）易知分别为的中点，

是的中位线， ，

平面平面，

平面；

（2）底面 平面，

又平面，且，

平面，

又 平面，

四边形是正方形，，

平面，

平面，

又平面平面平面.

22．如图1，已知菱形的对角线交于点，四边形是平行四边形.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.

(1)求证：；

(2)在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，分别是的中点，证明见解析

【分析】对于（1），证明平面即可.

对于（2），使即可.

【详解】（1）证明：折叠前，四边形是菱形，，

折叠后.

平面，

又平面.

（2）在线段上分别存在点，且分别是的中点时，平面平面.

证明如下：

如图，分别取的中点，连结，

在中，分别是的中点，.

分别是的中点，四边形是平行四边形，

平行且等于四边形是平行四边形，.

又平面

平面，

平面平面.