2021-2022学年上海市陆行中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市陆行中学高一下学期期末数学试题

一、填空题

1．函数的最小正周期为___________.

【答案】

【分析】先由二倍角公式将化简，再由，即可得出结果.

【详解】因为 ，所以，所以函数的最小正周期为.

故答案为

【点睛】本题主要考查函数的周期，二倍角的余弦公式.

2．已知角的终边经过点，则的值为__________．

【答案】

【详解】按三角函数的定义，有.

3．设复数，，在复平面的对应的向量分别为､，则向量对应的复数所对应的点的坐标为___________.

【答案】

【分析】根据向量运算求得正确答案.

【详解】依题意，复数，，在复平面的对应的向量分别为､，

所以，

所以，

所以向量对应的复数所对应的点的坐标为.

故答案为：

4．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的关系是___________.

【答案】垂直

【分析】结合线面垂直的有关知识确定正确答案.

【详解】依题意，空间中的，

若，由于平面，

所以平面，

由于平面，所以.

故答案为：垂直

5．___________.

【答案】100

【分析】根据复数的乘法，除法运算法则结合复数的模的公式计算即可.

【详解】，，

，

所以，

所以，

所以，

故答案为：100.

6．已知空间四边形两条对角线相等，则顺次连结它的各边中点所成的四边形是___________.

【答案】菱形

【分析】根据中位线的性质求得正确答案.

【详解】如图所示，四边形的对角线，

分别是的中点，

根据三角形中位线的知识可知，

所以，所以四边形是菱形.

故答案为：菱形

7．的三边长分别为,则的值为____．

【答案】

【分析】运用余弦定理，求得cosB，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值．

【详解】由于，则，

则

故答案为．

【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题．

8．已知，且、（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值为________

【答案】1

【分析】根据实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数及根与系数的关系，即可求解.

【详解】因为、（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，

所以，

且满足，

解得，

所以，

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，根与系数的关系，属于中档题.

9．若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.

【答案】

【分析】根据数量投影的知识求得正确答案.

【详解】向量在向量的方向上的数量投影为.

故答案为：

10．函数的单调递增区间是___________.

【答案】

【分析】利用整体代入法求得函数的单调递增区间.

【详解】由，解得，

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：

11．如图，已知长方体，，则异面直线所成的角是______．

【答案】π4

【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.

【详解】

如图，将平移到，则就是异面直线所成的角，

，，

所以，故答案为.

【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象力、运算能力和推理能力，属于基础题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

12．若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】在同一坐标系内画出与的图像，利用数形结合去求的取值范围

【详解】

则单调递增区间为，，单调递减区间为，，

又，

又函数的图像与仅有两个不同交点，

则的取值范围是

故答案为：

二、单选题

13．设，“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；

当复数为纯虚数时，

，解得或，故不必要，

故选：A

14．如果直线l是平面α的斜线，那么平面α内（    ）

A．不存在与l平行的直线. B．不存在与l垂直的直线.

C．与l垂直的直线只有一条. D．与l平行的直线有无数条.

【答案】A

【解析】利用反证法可以证明出正确；利用线面垂直的判定定理和线面垂直的定义可得B不正确；由B可知，C不正确；由A可知，D不正确，进而得出选项．

【详解】对于A，不存在与平行的直线，可用反证法证明：设，假设内存在与平行的直线，则不过点，在内过点作，则，得出矛盾，故假设不成立，因此正确；

对于B，如图，在平面内存在无数条与垂直的直线．

证明如下：设，在取异于点的，过，垂足为，则，在内作，由线面垂直的判定定理和定义可得，则在所有与平行的直线都与垂直，即在平面内存在无数条与垂直的直线．因此B不正确；

对于C，由B可知：在平面内存在无数条与垂直的直线．因此C不正确；

对于D，由A可知：不存在与平行的直线，因此D不正确．

综上可知：只有A正确．

故选：A．

【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面垂直的方法主要有：

1.线面垂直的判定定理，直线与平面内的两条相交直线垂直；

2.面面垂直的性质定理，若两平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的垂直于另一个平面；

3.线面垂直的性质定理，两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直；

4.面面平行的性质定理，直线垂直于两平行平面之一，必然垂直于另一个平面．

15．已知向量，如果向量与垂直，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.

【详解】，

若向量与垂直，

则，

解得.

故选：D

16．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用三角函数图像平移规则即可求得平移后所得图象的函数解析式

【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到

再将向上平移1个单位，

得到，即

故选：C

三、解答题

17．已知复数满足，求复数.

【答案】

【分析】设，根据已知条件列方程，求得，进而求得.

【详解】设，所以，

代入方程得，

由复数相等的条件得，

解得，所以.

18．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的最小值及取到最小值时的值.

【答案】(1)

(2)时，

【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简函数，从而求得函数的最小正周期.

（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.

【详解】（1），

所以函数的最小正周期；

（2）当，即时，.

19．已知向量､的夹角为，且，设，.

(1)求；

(2)试用来表示的值；

(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案.

（2）利用向量数量积运算求得正确答案.

（3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）.

（2）

.

（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.

其中，而，

于是实数的取值范围是.

20．已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.

(1)求的周期；

(2)当时，求的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题得即得解；

（2）首先求出，再利用不等式的性质和三角函数的图象和性质得解.

【详解】（1）解：由轴上相邻两个交点间的距离为，得，即，

函数的周期为.

（2）解：由函数图象的最低点为，得，

由得.

又点在图象上，得，即，

故，，所以，，

又，所以，所以.

又，所以，

所以.

所以的值域为.

21．某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？

【答案】15千米

【分析】结合余弦定理、正弦定理求得正确答案.

【详解】在中，，，，

由余弦定理得，

所以.

在中，，，

.

由正弦定理得（千米）.

所以这艘渔船到达港口还需行驶15千米.

22．如图，底面是一个直角梯形，，，，，底面，与底面成角.，垂足为.

(1)求证：；

(2)求到平面的距离；

(3)求异面直线与所成角的大小（用反三角函数值表示）.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）通过证明面来证得.

（2）判断出平面，解直角三角形求得，也即求得到平面的距离.

（3）利用向量法求得异面直线与所成角.

【详解】（1）由于底面，平面，所以，

由于，即，所以两两相互垂直.

因为面，与底面成角，所以，

不妨设，所以，，则,

以为原点，､､所在直线分别为轴，轴，轴

建立直角坐标系，

则，

，，

所以，所以，即，

又因为，平面，

所以面，又因为面，所以.

（2）因为，，，平面，

所以平面，所以到平面的距离即为，

，

所以到平面的距离为.

（3）不妨设，利用（1）的条件，

过作，垂足为，则，且，

所以，所以，于是，

又，

设直线与所成角为，

则，

所以与所成角的余弦值为，

所以异面直线与所成角的大小为.