2022-2023学年安徽省皖北县中联盟高一上学期12月联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省皖北县中联盟高一上学期12月联考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的描述法结合交集的运算分析求解.
【详解】由，解得
所以．
故选：B．
2．下列表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】根据两个函数相同的两要素(定义域和对应法则)判断即可.
【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为的定义域为R，
定义域不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C，，
这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，
故是同一个函数，故C正确；
对于D，与的定义域和对应法则都不同，
不是同一个函数，故D错误；
故选:C．
3．已知幂函数的图像过点，则（ ）
A．为减函数B．的值域为
C．为奇函数D．的定义域为R
【答案】B
【分析】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可.
【详解】解：设，将代入，得，解得，
故，易知在上单调递增，在上单调递减，且值域为，故A选项错误，B选项正确；
的定义域为，且，为偶函数，
C，D选项错误；
故选：B．
4．已知，，则是的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】可举例说明时不成立;对分类讨论去绝对值证明时有成立.
【详解】令，，满足，但，故不能推出，
当，时，
①当时，，②当时，，
故能推出，
故是的必要不充分条件.
故选：C.
5．已知函数若，则的值为（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式，由的不同取值范围，分类讨论求解即可.
【详解】∵
∴①当时，，
，满足题意；
②当时，，，
，
∴，即解得或（舍）；
③当时，，，
，
∴，即解得（舍）或（舍）.
综上所述，实数的值为或.
故选：A.
6．已知函数，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、单调性比较大小.
【详解】因为的定义域为，且，
所以为偶函数，，
又当时，单调递减，
由以及，
可得，
即．
故选:D．
7．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到）为（参考数据： ）
A．2.4B．2.5C．2.6D．2.56
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理求解．
【详解】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0，
f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0，
f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0
又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．
故选：C．
8．甲，乙两位同学解关于x的方程，甲写错了常数c，得到或，乙写错了常数b，得到或，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据换元法令，利用指、对数的运算结合韦达定理可求，再解一元二次不等式即可.
【详解】令，则原方程即为，则有：
当甲写错了常数c时，得到的根为或，由两根之和得，即；
当乙写错了常数b时，得到的根为或，由两根之积得；
综上所述：，.
则不等式即为，解得，
故不等式的解集为．
故选：A．
二、多选题
9．下列函数有最小值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】对A、B：利用基本不等式分析判断；对C：结合分离常数法分析判断；对D：先根据复合函数的单调性判断的单调性，再根据单调性求最值.
【详解】对于A：
，当且仅当，即时等号成立，故，A正确；
对于B：
当时，则，当且仅当，即时等号成立；
当时，则，当且仅当，即时等号成立，故；
∴的值域为，无最小值，B错误；
对于C：
的值域为，无最小值，C错误；
对于D：
由题意可得，解得，
故的定义域为.
∵在定义域内单调递增，在定义域内单调递增，
∴在定义域内单调递增，
则，故有最小值0，D正确．
故选：AD．
10．若，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】分和两种情况讨论，结合对数函数单调性解，再根据指数函数单调性分析判断.
【详解】由，可得：
当时，∵在定义域内单调递减，
∴，
此时，且在定义域内单调递减，B成立，D错误；
当时，∵在定义域内单调递增，
∴，
此时，且在定义域内单调递增，A错误，C成立．
故选：BC.
11．已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】利用基本不等式可依次判断各项.
【详解】对于A，，即，，当且仅当等号成立，故A错误；
对于B，，，，，，当且仅当等号成立，故B错误；
对于C，由A得，，故C正确；
对于D，由B得，，故D正确.
故选：CD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．已知函数（，且），则（ ）
A．有两个零点B．不可能为偶函数
C．的单调递增区间为D．的单调递减区间为
【答案】ABD
【分析】由函数可知，定义域为，故为非奇非偶函数，令，根据对数的运算法则可计算出方程的根，去绝对值，把函数写成分段函数，分类讨论求函数的单调区间.
【详解】对于A，令，则或，所以或有两个零点，A正确；
对于B，的定义域为为非奇非偶函数，B正确；
对于C，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．函数的定义域为______．
【答案】
【分析】且解不等式即可．
【详解】且，由此解得,故填
【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0．
14．若“”为真命题，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据条件将问题转化不等式在上有解，则，由此求解出的取值范围.
【详解】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，
所以，所以，
故答案为：.
15．郭老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为；③在上为单调减函数．郭老师说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个这样的函数_____________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意可知符合题意的函数不止一个，符合其中两个条件，不符合另一个，比如即可.
【详解】由题意可得满足②③，不满足①,符合题意，
故答案为: .
16．已知关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】由题意令，则恒成立，则或，解不等式即可得出答案.
【详解】，即，
令，则恒成立．
所以或,解得，
故实数k的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
17．求值：
(1)；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数、根式、对数运算求得正确答案.
（2）根据指数、对数运算求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2），则，
∴
∴．
18．函数和的大致图象如图所示，两个函数的图象在第一象限内的交点为．
(1)指出图中曲线分别对应哪一个函数（无需证明）；
(2)比较的大小，并按从小到大的顺序用“<”连接起来；
(3)若，其中a，b为整数，求a，b的值．
【答案】(1)对应的函数为对应的函数为
(2)
(3)
【分析】（1）观察图像直接得到答案.
（2）计算函数值比较大小即可.
（3）令，计算得到，根据零点存在定理得到答案.
【详解】（1）对应的函数为对应的函数为．
（2），
所以．
（3）令，
由于，
则函数的两个零点，
因此整数．
19．已知集合，．
(1)当时，判断命题：的真假，并说明理由；
(2)若时，，求的最小值．
【答案】(1)命题为假命题，理由见解析；
(2).
【分析】（1）将代入集合，分别求解出集合和集合即可判断命题的真假；
（2）解出时的集合，得到，，将用表示，再使用基本不等式进行求解.
【详解】（1）命题为假命题，理由如下：
由已知，
，
解得，
∴，
当时，，
，
解得，
∴，
当时，，但，
∴命题：是假命题．
（2）由已知，，
，
∵，∴，∴，
∴解得，
∴，
∴，，
∴，
令（∵，∴），则，
∴，
当且仅当时，即时取等号，
∴当时，的最小值为．
20．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．改造后的房子不仅有漂亮外观，还能解决顶层渗漏等问题，达到隔热的效果．近年来，某县持续关注民生，推进民房屋顶平改坡工程，对全县的老房子进行平改坡（且每年平改坡面积的百分比相等）．若改造到面积的一半时，所用时间需年，已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的．
(1)求每年平改坡的百分比；
(2)到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)到今年为止，该工程已经进行了5年
【分析】（1）设每年平改坡的百分比为，根据已知条件列方程，化简求得的值.
（2）根据到今年为止平改坡剩余面积列方程，化简求得进行的年数.
【详解】（1）设每年平改坡的百分比为，则，即，
解得.
（2）设到今年为止，该工程已经进行了年，则，
即，解得，
所以到今年为止，该工程已经进行了年．
21．已知函数（且）．请在下面三个函数①，②，③中选择一个函数作为，使得具有奇偶性．
(1)请写出的表达式，并求的值；
(2)若为偶函数，求的值域．
【答案】(1)
，或
(2)
【分析】（1）奇偶性的应用对①②③逐个讨论即可；（2）由（1）得，换元法解决即可.
【详解】（1）选①．
，则，该函数的定义域为，
若函数为奇函数，则，不符合题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，
化简可得，则不为常数．
即函数不可能为偶函数，不符合题意．
选②．
，则．
若函数为奇函数．则，不符合题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，
整理可得，
则不为常数，不符合题意．
选③．
，则，
当为奇函数时，则，即，可得；
当为偶函数时，则，则，可得．
综上，当时，使得具有奇偶性，此时或．
（2）若为偶函数，则，
令，则，当且仅当时，等号成立，
则，
又，所以当时，取得最小值4．
故的值域为．
22．已知函数．
(1)求的定义域，并证明的图象关于点对称；
(2)若关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据，即可得定义域，通过可得对称性；
（2）法一、题意转化为在上有解，通过的单调性得其范围，进而得的取值范围；
法二、题意转化为在上有解，根据一元二次方程根的分布列出不等式组得出的范围.
【详解】（1）由题设可得，解得，故的定义域为，
而，
故的图象关于点对称．
（2）法一：因为关于x的方程即有解，
故在上有解．
下面求在上有解时实数a的取值范围．
因为与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上也是减函数，
所以时，的取值范围是．
令，解得．
因此，所求实数a的取值范围是．
法二：，即，
因为有解，故在上有解，
整理得到在上有解，
设，显然，则或
解得．
故实数a的取值范围为．