2022-2023学年安徽省芜湖市第一中学高一上学期期末模拟数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省芜湖市第一中学高一上学期期末模拟数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知角的终边在第三象限，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】根据角的终边所在象限，确定其正切值和余弦值的符号，即可得出结果.
【详解】角的终边在第三象限，则，，点P在第四象限．
故选：D.
2．下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.
【详解】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.
A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；
C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；
D：与的解析式不相同，故排除D.
故选：B
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由零点存在性定理判断即可.
【详解】解：，，
根据零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是
故选：C.
4．已知，均为正实数，且，则的最小值为
A．20B．24C．28D．32
【答案】A
【详解】分析：由已知条件构造基本不等式模型即可得出.
详解：均为正实数，且，则
当且仅当时取等号.
的最小值为20.
故选A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.
5．函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用当x＞0时，函数值的正负确定选项即可.
【详解】函数f（x）定义域为，
所以函数f（x）是奇函数，排除BC；
当x＞0时，，排除D．
故选：A
6．令，，，则三个数、、的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得，，，判断可得选项.
【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以，
故选：D．
【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
7．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，
【详解】由题意可知恒成立．
①当时，恒成立；
②当时，，解得．
综上：．
故选：C
8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是满足的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把函数有3个零点，转化为有3个不同根，画出函数与的图象，转化为关于的不等式组求解即可.
【详解】由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，函数是最小正周期为2的偶函数，当时，，函数有3个零点，即有3个不同根，
画出函数与的图象如图：
要使函数与的图象有3个交点，则，且，即.∴ 实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．如果，是第一象限的角，且，则
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
【答案】AD
【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C，D作答.
【详解】对于A，是第一象限的角，即，则，
是第四象限的角，A正确；
对于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正确；
对于C，设扇形所在圆半径为r，则有，解得，扇形面积，C不正确；
对于D，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长，D正确.
故选：AD
10．已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数B．为增函数
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质可判断ABC，利用，作差可判断D.
【详解】将点代入函数得：，则，
所以，
∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；
函数在定义域上为增函数，所以B正确；
当时，，即，所以C正确；
若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：BCD.
11．已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标范围及数量关系，应用数形结合思想，及指对幂函数的性质判断a、b、c的范围.
【详解】由题设，，，，
所以，问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
由图及、对称性知：，且，
所以A、D正确，B、C错误.
故选：AD
12．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最大值为
B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是
C．函数满足，则
D．已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
【答案】CD
【分析】利用指数函数的性质，结合函数的最值对A进行判断；利用对数函数的性质及复合函数的单调性对B进行判断；由得，，，对C进行判断；利用函数的零点与方程根的关系，结合奇函数的性质对D进行判断，从而得结论.
【详解】对于A，因为，所以，因此有最小值，无最大值，所以A错误，
对于B，因为函数（且）在上是减函数，
所以，解得，实数的取值范围是，所以B错误，
对于C，由得，，，∴.所以C正确，
对于D，因为定义在上的奇函数在内有1010个零点，所以函数在内有1010个零点，而，因此函数的零点个数为，所以D正确，
故选：CD
三、填空题
13．已知函数，且，则的值为____________．
【答案】
【分析】由奇函数的性质求解，
【详解】，令，
∵，∴为奇函数，∴，
则，得.
故答案为：
14．设函数是以4为周期的周期函数，且时，，则__________．
【答案】##0.5
【分析】利用周期和分段函数的性质可得答案.
【详解】，
.
故答案为：.
15．若函数（，且）在上是减函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性，列出式子，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数在上是减函数
所以，即
故答案为：
16．设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】令，可得函数利是定义在上的偶函数且在上单调递增，原不等式等价于，分析可得答案.
【详解】令，
由是定义在上的奇函数，
可得是定义在上的偶函数，
由对任意的，，，满足：，
可得在上单调递增，
由，可得，
所以在上单调递减，且，
不等式，即为，即，
可得或，即或
解得或.
故答案为：.
四、解答题
17．求值：
(1)．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)15
(2)10
【分析】（1）利用指数、对数的运算性质运算可得答案；
（2）先利用诱导公式对进行化简求得，对进行弦化切后代入的值可得答案．
【详解】（1）
.
（2）由，
．
18．已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）由，得出的解析式；
（2）由函数的定义证明即可.
【详解】（1），又是奇函数，，
解得．
（2）函数在上单调递减，在上单调递增
证明如下：①取，且
且，
，即
，即
函数在上的单调递减.
②取，且
且，
，即
，即，即函数在上单调递增．
综上，函数在上单调递减，在上单调递增
19．设
(1)分别求
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)；或
(2)
【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；
（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.
【详解】（1）解：解不等式可得，，
所以，或，或；
（2）解：由可得，且，
所以，解得，即.
20．已知函数．
（1）若的值域为，求关于的不等式的解集；
（2）当时，函数对于任意都成立，求m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）由函数的值域和二次函数的性质可以得到最小值的表达式，因此可以求出的值，从而写出函数表达式，解出的解集；
（2）由，即可得出，令，转化为含参的一元二次不等式求解即可.
【详解】解：（1）的值域为，
所以，
又，
，
则，
由得：，
，
①当时，，
所以不等式的解集为或；
②当时，，，
所以不等式的解集为R．
（2）函数对于任意都成立等价于，
令，
又，
，
则题意等价于，
即，
所以或，
由对恒成立知：，
由对恒成立知：，
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用二次函数的图像解含参的一元二次不等式.
21．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中．
①求的表达式；
②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．
【答案】（1），（2）①（），②28毫克/立方米
【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可
（2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，
则当时，由，得，所以，
当时，由，得，，得，所以，
综上，，
所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时，
（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为
（毫克/立方米），
所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为
（），
②（），
，当且仅当，即时取等号，
所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米
【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题
22．已知函数的图象过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；
（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.
【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；
（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，，
令，得，
设，则函数在区间上有零点，
等价于函数在上有零点，所以，解得，
因为，所以的取值为2或3.
（3）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
所以，
只需，即，
设，在上单调递增，
又，∴，即，所以，
所以m的取值范围是.
【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.