2022-2023学年福建福州外国语学校高一上学期阶段性测试数学试题（解析版）

2022—2023学年第一学期阶段性测试（高一数学）

满分：150

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：，则.

故选：A.

2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.

【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.

故选：B

3. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由对数函数、指数函数、的单调性，可以得到，可得到大小关系

【详解】，，，则，

所以，

故选：B

4. 函数的零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数零点存在性定理判断即可．

【详解】，，，故零点所在区间为

故选：B

5. 设，且，则的最小值为（    ）

A. 4 B.  C.  D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.

【详解】由，当且仅当时等号成立.

故选：C

6. 函数的部分图象大致为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由奇偶性定义判断对称性，再根据解析式判断、上的符号，即可确定大致图象.

【详解】由题设，且定义域为R，即为奇函数，排除C，D；

当时恒成立；

，故当时，当时；

所以，时，时，排除B；

故选：A.

7. 若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件利用对数型复合函数单调性列式求解作答.

【详解】函数中，令，函数在上单调递增，

而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，

因此，，解得，

所以实数a的取值范围为.

故选：D

8. 已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.

【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.

若时，由解得或，满足题意.

若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.

当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.

综上，

故选：D

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列函数是奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】先求函数的定义域，再判断 与的关系即可求解

【详解】对A，函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为奇函数，符合题意；

对B，函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；

对C, 函数的定义域为R,关于（0,0）对称，且，故函数为奇函数，符合题意；

对D,函数定义域为，不关于（0,0）对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；

故选：AC

10. 下列命题是真命题是（    ）

A.

B. “”是“”成立的充要条件

C. 命题“”的否定是“”

D. 若幂函数经过点，则

【答案】CD

【解析】

【分析】A根据对数运算性质判断；B根据充要条件概念判断；C根据特称命题的否定定义判断；D函数幂函数性质判断.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：由，不能得到，故“”是“”成立的充分不必要条件，故B错误；

对于C：因为“”的否定是“”，故C正确；

对于D：因为幂函数经过点，所以，即，

即，故，故D正确.

故选：CD

【点睛】命题的否定与否命题：否定为条件不变，结论否定；其中含量词的命题的否定为量词转变，结论否定；否命题为条件与结论都要改变.

11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A. 当时， B. 函数的值域是

C. 函数有两个零点 D. 不等式的解集是

【答案】ABD

【解析】

【分析】依题意作出函数的图象，根据图象即可判断各选项．

【详解】因为是奇函数，故，且当时，，故函数有三个零点C错误，

当时，，，故A正确，

如图所示易得D正确，

由图可得，则函数的值域是，故B正确.

故选：ABD

12. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的是（    ）

A.  B. 为偶函数

C. 最小正周期为 D. 的值域为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于A，直接求解即可，对于B，取，检验可得反例，对于C，直接求解即可；对于D，要求的值域，只需求时的值域即可.

【详解】对于A，，故A正确.

对于B，取，则，而，

故，所以函数不为偶函数，故B错误.

对于C，则，故C正确.

对于D，由C的判断可知，为周期函数，且周期为，

要求的值域，只需求时的值域即可.

当时，则，

当时，，

故当时，则有，故函数的值域为，故D错误.

故选：AC．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 命题“，”的否定是______．

【答案】.

【解析】

【分析】全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可知原命题的否定.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

所以原命题的否定：.

故答案为：.

14. 若角的终边经过点，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据定义求得，再由诱导公式可求解.

【详解】角的终边经过点,

则，

所以.

故答案为：.

15. 函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______．

【答案】-1

【解析】

【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可．

【详解】解：∵幂函数，

∴m2﹣m﹣1=1，

解得m=2，或m=﹣1；

又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，

∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；

当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；

综上，m=﹣1，

故答案为﹣1

【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．

16. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在 上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，求出t的取值范围.

【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，

由复合函数单调性可知函数在上是增函数

所以，则，即

所以方程有两个不等的实根，

令，则，所以方程变为：.

则，解得

所以实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）结合指数的运算化简计算即可求出结果；

（2）结合对数的运算化简计算即可求出结果；

【小问1详解】

【小问2详解】

18. 已知函数的定义域为A，集合.

（1）求集合A；

（2）若全集，，求；

（3）若是的充分条件，求a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）求出函数的定义域，得到集合A；

（2）代入集合B，再按补集交集的定义运算；

（3）依题意有，按和两个类型讨论，解出a的取值范围.

【小问1详解】

，函数有意义，则，解得，

函数的定义域为，∴.

【小问2详解】

时，，全集， 或，∴或.

【小问3详解】

若是的充分条件，则有，

当时，有，解得，符合题意；

当时，由，则有，解得，

综上可知，a的取值范围为.

19. 已知.

（1）化简，并求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；

（2）利用 将变形为，继而变形为，代入求值即可.

【小问1详解】

则

【小问2详解】

由（1）知，．

则

20. 已知一次函数.

（1）求解不等式：；

（2）若在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分式不等式的解法即可的解；

（2）要使在上恒成立，只需即可，令，，求出函数即可的解.

【小问1详解】

解：不等式，即，

解得或，

所以不等式的解集为；

小问2详解】

解：要使在上恒成立，

只需即可，

令，，

由函数的对称轴为，则函数在上递增，

所以，

所以，解得，

所以在上恒成立，实数m的取值范围为.

21. 某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于日产量x（单位：个）满足函数：.

（1）将利润（单位：元）表示成日产量x的函数；

（2）当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入）

【答案】（1）   

（2）当月产量为300台时，公司获得月利润最大，其值为25000元

【解析】

【分析】（1）根据利润为总收入减去总成本，即可得到利润的解析式；

（2）结合（1）中的解析式，分讨讨论的取值范围，结合配方法与一次函数的单调性，求得的最值，同时得到相应的值.

【小问1详解】

根据题意，

当时，，

当时，，

所以.

【小问2详解】

当时，，

所以当时，；

当时，易知是减函数，

所以；

综上：当时，，

所以，当月产量为300台时，公司获得月利润最大，其值为25000元.

22. 已知定义域为R的函数是奇函数．

（1）求a，b的值．

（2）判断函数的单调性，并用定义证明．

（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1），．   

（2）在上为减函数，证明见解析．   

（3）．

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案；

（2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案；

（3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案.

【小问1详解】

因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，

∴，又∵，即，∴．

则，由，

则当，原函数为奇函数．

【小问2详解】

由（1）知，

任取，设，则，

因为函数在R上是增函数，，∴．又，

∴，即，∴在上为减涵数．

【小问3详解】

因是奇函数，从而不等式：，

等价于，

因为减函数，由上式推得：．

即对一切有：恒成立，设，

令，则有，

∴，

∴，即k的取值范围为．