2022-2023学年福建省福州第十一中学高一上学期适应性训练（期中）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省福州第十一中学高一上学期适应性训练（期中）数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州第十一中学高一上学期适应性训练（期中）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则的真子集个数为（    ）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】利用列举法，写出集合，根据交集运算明确元素个数，根据公式，其中为元素个数，可得答案.【详解】由题意，，则，即真子集个数为.故选：C.2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；【详解】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：，故选：D3．函数的大致图象是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性可排除B，C；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数的定义域为 ，且故是偶函数，排除选项B，C；当时，，对应点在第四象限，故排除A，故选：D.4．若，有下面四个不等式：①，②，③，④.则不正确的不等式的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由得，再根据不等式的性质和基本不等式，逐一判断，即可求出结果.【详解】由得，故，，故①④不正确；，故③正确；，均大于0且不等于1，由基本不等式可知，故②正确.故选：C.5．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】不等式化为，只需讨论，时，求出解不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出的取值范围.【详解】关于的不等式可化为，当时，解不等式得，由不等式的解集中恰有两个整数，则；当时，解不等式得，由不等式的解集中恰有两个整数，则；所以的取值范围是或，故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的解法与应用问题，同时考查了分类讨论思想，属于中档题.6．若，则有（    ）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值【答案】D【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．故选：D.7．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函数单调性列不等式组求解【详解】，故在上单调递减，由题意得解得，故选：B8．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，又是偶函数，因此不等式转化为，，，解得．故选：D． 二、多选题9．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）．A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．10．已知命题p：关于x的不等式的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】求出命题p成立时的取值范围，再根据必要不充分条件的定义逐个判断选项，得出答案．【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，且，故选：CD11．下列说法正确的是（       ）A．若的定义域为，则的定义域为B．表示同一个函数C．函数的值域为D．函数满足，则【答案】ACD【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】解：对于A，因为的定义域为，对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，定义域为，定义域为，不是同一函数，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，，化简得，两式相加得，解得，故D正确．故选：ACD．12．定义在上的函数满足，且当时，，则有(    )A．为奇函数 B．存在非零实数a，b，使得C．为增函数 D．【答案】ABC【分析】对于A，对适当赋值即可判断；对于B，利用奇偶性和单调性转化为方程有解的问题进行判断；对于C，利用定义法进行判断；对于D，利用赋值法和单调性判断.【详解】令，得，所以；令，得，故，为奇函数，故A正确; 任取，则，因为，故，，，故为增函数，所以C正确；，所以D错误；，所以，则，，当，，所以存在，使得，所以B正确.故选：ABC. 三、填空题13．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.【答案】-1【分析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.故答案为：-1.14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.【答案】【解析】设时，，，代入计算得到答案.【详解】由题可知，时，，故，故函数的解析式为：.故答案为：.15．已知，，给出下列四个不等式：①；②；③；④.其中正确的不等式有____.（填上所有正确的序号）【答案】①②③【分析】利用基本不等式比较各项不等式左右两边的大小关系，注意等号成立的条件.【详解】∵a>0，b>0，∴①a+b+≥2≥2=2，当且仅当a=b=时取等号，正确；②(a+b)()≥4·=4，当且仅当a=b时取等号，正确；③∵≥，而a2+b2≥=(a+b)·≥(a+b)，∴≥a+b，当且仅当a=b时取等号，正确；④a+=(a+4)+-4≥2-4=-2，当且仅当a+4=，即(a+4)2=1时等号成立，而a>0，则(a+4)2≠1，∴不能取等号，显然存在a=，有a+<a+，不正确.故答案为：①②③16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________．【答案】【解析】根据解析式画出图象，数形结合可得时，存在，使得，根据解析式可以求出，，所以可化成，再结合范围即可求出取值范围．【详解】解：可得函数图象如下所示由图可知，当时，存在，使得，不妨令此时，则对于、满足方程，即，所以；对于、满足方程，即，所以，则有，，其中，则，即故答案为： ．【点睛】本题考查函数的图象，函数与方程的结合，数形结合是关键，属于中档题． 四、解答题17．已知，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出集合、，利用交集的定义可求得集合；（2）求出集合，由题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，或，因此，；（2）由（1）可得，若是的充分不必要条件，则，所以，，解得.①当时，，则成立；②当时，，则成立.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查了集合包含关系的应用，考查计算能力，属于中等题.18．已知，（1）写出命题的否定；命题的否定；（2）若或为真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出命题的否定形式即可；（2）由或为真命题，则有为真命题或为真命题，从而即可求得实数的取值范围．【详解】解：（1）：；：（2）由题意知，真命题或真命题，当真命题时，，当真命题时，，解得，因此，当或为真命题时，实数的取值范围为或，即．19．已知函数．(1)若函数在上是增函数，求实数的取值范围；(2)若不等式的解集为，求的值；(3)若时，求时的最小值．【答案】(1)(2)，(3) 【分析】（1）根据函数的对称轴为，且在上是增函数，可得，由此求得a的范围；（2）由题意得0，2是方程的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，求出的值；（3）根据的对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得．【详解】（1）∵函数的对称轴为，且在上是增函数，∴，解得，∴实数a的取值范围是．（2）若不等式的解集为，则0，2是方程的两个实数根，∴，∴．（3）若，则，对称轴为，当，即时，函数在到单调递增，则，当，即时，函数在单调递减，在单调递增，则，当，即时，函数在单调递减，则，综上，．20．已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明．【答案】(1)(2)增函数，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数求得，因为，可求得，即可得函数的解析式；（2）根据函数的单调性的定义即可证明.【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此．（2）解：函数在上是增函数．证明如下：任取，且，则，因为，，则，，故，即．因此，函数在上是增函数．21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额x成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【答案】(1)(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元. 【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得.【详解】（1）由题意可设，由图知，函数和的图象分别过点和，代入解析式可得，所以（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，则，令，则，当，即时，，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.22．已知，函数.（1）若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）的图象开口向上，对称轴为，故在上单调递减，进而得，解得；（2）根据题意对恒成立，故且在恒成立，再分别求函数，的最大值和，的最小值即可得答案.【详解】（1）∵的图象开口向上，对称轴为，∴在上单调递减，∴，即，解得.（2）不等式对恒成立，即对恒成立，故且在恒成立，令，，所以，所以.令，所以，所以.综上：.【点睛】本题考查二次函数的最值，二次函数在区间上恒成立问题，考查独立参数法和数学运算能力，是中档题.