2022-2023学年福建省福州第四中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州第四中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可．

【详解】因为，，

所以，

故选C．

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.

2．命题“”的否定是  

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.

【解析】全称命题与存在性命题.

3．已知指数函数的图象过点，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】由指数函数过点代入求出，计算对数值即可.

【详解】因为指数函数的图象过点，

所以，即，

所以，

故选：C

4．已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取特殊值说明A、C、D选项错误；再由不等式的性质说明B正确即可.

【详解】取，则，A错误；，C错误；，D错误；由可得，则，B正确.

故选：B.

5．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可得.

【详解】由指数函数的单调性可得，，

，所以.

故选：D

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

7．已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（    ）

A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]

【答案】D

【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可.

【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得.

故选：D.

8．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是常数．已知当时，污染物含量降为过滤前的，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意列出指数式方程，利用指数与对数运算公式求出的值.

【详解】由题意得：，即，两边取对数，，解得：.

故选：C

二、多选题

9．下列四组函数中，表示同一函数的有（    ）

A．，

B．，

C． ，

D． ，

【答案】AC

【分析】逐一判断四个选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得正确选项.

【详解】解：对于A：函数，的定义域都是，且，，所以两函数为同一函数；A正确，

对于B：，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，所以两函数为不同函数；B错误，

对于C：函数 和的定义域都是，且对应关系相同，所以两函数为同一函数；C正确，

对于D： 的定义域为，的定义域为或，两函数定义域不同，所以两函数为不同函数，D错误，

故选：AC.

10．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据函数的解析式，直接判断函数的单调性.

【详解】A.在上单调递减，故A正确；

B.在单调递减，在单调递增，故B错误；

C.在定义域单调递增，故C错误；

D.在定义域上单调递增，故D正确.

故选：AD

11．下列指数式与对数式互化正确的是（    ）

A． 与  B．与

C．与 D．与

【答案】BD

【分析】按照指数对数互化公式计算即可.

【详解】指数对数互化公式是如果 ，则有 ，

对于A， ，化成对数是 ，错误；

对于B，正确；

对于C， ，化成对数是 ，错误；

对于D，正确；

故选：BD.

12．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ）

A． B．是奇函数

C．在上有最大值 D．的解集为

【答案】ABD

【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；

对于B选项，函数的定义域为，

令，可得，则，

故函数是奇函数，B对；

对于C选项，任取、且，则，

即，所以，

所以，函数为上的减函数，

所以，在上有最大值，C错；

对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．函数的定义域是______.

【答案】

【分析】根据对数的真数大于0列方程，解方程即可得到定义域..

【详解】由，得，所以函数的定义域为.

故答案为：.

14．已知函数，若，则__________.

【答案】

【分析】分、解方程，综合可得出实数的值.

【详解】当时，由可得；

当时，由，此时无解.

综上所述，.

故答案为：.

15．若，且，则_____________．

【答案】

【分析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.

【详解】解：因为，所以，，，又，

所以，

所以，所以，

故答案为：.

16．已知函数是定义在上的奇函数且，对不同的，都有，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】先判断出在为增函数，求出.记，把题意转化为，列不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】因为不同的，都有，

所以不妨设，则有，所以在为增函数.

因为函数是定义在上的奇函数且，所以.

记.

因为不等式对恒成立，

所以有.

所以有，解得：，即.

所以实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求出.

(2)根据对数的运算性质即可求得.

【详解】（1）

（2）

18．已知正实数x、y满足．

(1)求xy的最小值，并求取最小值时x、y的值；

(2)若的最小值为9，求a的值．

【答案】(1)8，，

(2)2

【分析】（1）利用基本不等式求最小值即可；

（2）利用基本不等式得到，然后列方程，解方程即可.

【详解】（1），即，解得，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8，此时，，.

（2）由得，则，所以，令，则，解得或-4（舍去），所以，

当时，，解得，所以时，取得最小值9，满足要求，

所以.

19．设函数

(1)将函数写成分段函数；

(2)画出函数的图像；

(3)写出函数的定义域､值域和单调区间.

【答案】(1)

(2)见详解

(3)见详解

【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求出解析式；

（2）根据解析式即可画出函数图像；

（3）根据函数图像即可得出答案.

【详解】（1）可得，

当时，，

当时，，

所以.

（2）函数图像如下：

（3）根据函数图像可得，

的定义域为，值域为R，

单调递增区间为，，无单调递减区间.

20．已知函数．

(1)判断的奇偶性并证明．

(2)当时，判断的单调性并证明．

(3)在(2)的条件下，若实数满足，求的取值范围．

【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2) 函数是上的单调增函数，证明见解析；(3).

【解析】(1)根据函数奇偶性的定义判断并证明即可；

(2)根据函数单调性的定义判断并证明即可；

(3)在(2)的条件下，根据函数单调性的性质可得，解不等式即可求出的取值范围．

【详解】(1) 函数是奇函数.

证：函数的定义域为，

因为，所以函数是奇函数；

(2) 函数是上的单调增函数.

证：任取且，则

，

因为，所以，，，

所以，即，

所以函数是上的单调增函数.

(3)由(2)知函数是上的单调增函数，所以，解得,

所以的取值范围为.

【点睛】思路点睛：解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：

(1)将函数不等式转化成的形式；

(2)考查函数的单调性；

(3)根据据函数在给定区间上的单调性去掉法则“”，转化为形如“”或“”的常规不等式，从而得解．

21．今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和.

(1)求的表达式；

(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值.

【答案】(1)；

(2)当时，费用取得最小，最小值为75万元.

【分析】(1)根据距离为1km时隔离病房建造费用为100万元，求出k的值，由此可得的表达式；

(2)由(1)可得，利用基本不等式计算即可求解.

【详解】（1）由题意知，距离为1km时，隔离病房建造费用为100万元，

所以，得，

所以；

（2）由(1)知，

，

当且仅当即时，等号成立，

即当时，函数取到最小值75万元，

所以隔离病房与药物仓库距离5km时，可使得总费用最小，最小值为75万元.

22．已知函数，，.

(1)当时，求函数（）的值域；

(2)若关于的不等式的解集中恰有两个整数，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）当，求出，利用换元法结合二次函数的性质即可求解；

（2）将不等式整理可得恰有个整数解，可得，即或，分别讨论时整数解为，，当时整数解为，，列不等式再解不等式即可求解.

【详解】（1）当，，

令，因为，所以，

所以函数（）的值域为.

（2）由题意可得，则，

恰有个整数解，

所以，即或，

当时，不等式解为，

因为，恰有两个整数解即：，，

所以，，解得：，

当时，不等式解为，

因为，恰有两个整数解即：，，

所以，，解得：，

综上所述：或.