2022-2023学年福建省华安县第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省华安县第一中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．设全集U＝R，集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出，由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为，所以或，

所以.

故选：B.

2．若满足，则等于（    ）

A．3 B．1 C．5 D．0

【答案】B

【分析】令，求出所对应的，再代入计算可得.

【详解】解：因为，

令，解得，

所以；

故选：B

3．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由，，得：，

（当且仅当，即，时取等号），

的最小值为.

故选：C.

4．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.

【详解】解：因为函数为减函数，

所以，

又因为，

所以.

故选：A.

5．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性以及在上的单调性确定函数值的正负情况，结合可得相应不等式组，即可求得答案.

【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递增，且，

所以在上也是单调递增，且，

所以当时， ，

当时，，

所以由可得或,

 即 或，

解得 或 ，即的解集为，

故选：A.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性的综合应用，考查抽象不等式的解法，解答时要明确函数的对称性质，进而判断函数值的正负情况，解答的关键时根据不等式结合函数值情况得到相应不等式组，求得结果.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数解析式，分析函数在时的单调性及值域即可得解.

【详解】由可知，当时，单调递减，且，

故选：C

7．若函数（为常数），已知，则（    ）

A．9 B．5 C． D．3

【答案】A

【分析】首先令，根据题意得到为定义在R上的奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.

【详解】令，定义域为R，

则，即为定义在R上的奇函数，

，，

所以

故选：A

8．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.

【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，

根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，

且生物体内碳14原有初始质量为Q

所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为

即

故选:D.

二、多选题

9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.

【详解】，是偶函数，且在上单调递增

是奇函数，在上单调递减

故选：AC

10．下列说法正确的是（    ）

A．函数（且）的图像恒过定点

B．若函数满足，则函数的图象关于点对称

C．当时，函数的最小值为

D．函数的单调增区间为

【答案】BD

【分析】对A：根据指数函数恒过的定点，结合已知解析式，直接求解即可；对B：根据对称性的定义，转化后即可判断；对C：利用基本不等式，即可求得函数最小值：对D：根据复合函数的单调性，结合函数解析式和定义域，即可求得结果.

【详解】对A：令，解得，当时，，故恒过定点，A错误；

对B：因为，则，故的图象关于对称，B正确；

对C：因为，故，

当且仅当时取得等号，故C错误；

对D：要使有意义，则，解得，

则的定义域为，

由复合函数的单调性可得在单调递增，在单调递减，又在上单调递减，

故在单调递减，在单调递增，故D正确.

故选：BD.

11．已知函数，满足对任意，都有0成立，则a的取值不可以是（  　）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可得出答案．

【详解】∵满足对任意，都有0成立，

∴在R上是减函数，

∴，解得，

∴a的取值范围是．

故选：AB．

12．若定义域为R的函数同时满足：（1）；（2）当时，；（3）当，时，，则可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数奇偶性、单调性和图象性质判断即可.

【详解】A选项：，不满足（1），故A错；

B选项：，满足（1）；单调递增，故满足（2）；结合的图象可知，当时，为下凸函数，满足（3），故B正确；

C选项：当时，，结合反比例函数的图象可知，时，为上凸函数，不满足（3），故C错；

D选项：当时，，当时，，当时，，所以满足（1）；

当时，单调递增，满足（2）；当时，，结合指数函数的图象可知，时，为下凸函数，满足（3），故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．写出一个在上单调递增的偶函数__________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用二次函数的基本性质可得出结果.

【详解】函数为偶函数，且该函数在上单调递增，

故函数满足条件.

故答案为：（答案不唯一）.

14．已知函数，若 则______

【答案】

【分析】分类讨论和时，，解方程即可得出答案.

【详解】当时，，解得或（舍去），

当时，，解得（舍去），

综上所述，.

故答案为：.

15．已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.

【答案】

【分析】根据奇函数定义即得.

【详解】当时，，则，

因为函数为奇函数，

所以，即.

所以当时，.

故答案为：.

16．设函数，则使得成立的的取值范围是___________

【答案】

【分析】证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解．

【详解】的定义域是，

，是偶函数，

时，设，

，，，从而，

所以，即，是增函数，

不等式化为，

所以，，解得．

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求，；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，．

(2)

【分析】（1）先求出集合，再根据集合交并补运算求解即可；

（2）由题知，进而解不等式即可得答案.

【详解】（1）当时，，又因为，

所以或，所以，．

（2）因为，集合，或，

所以解得．所以实数的取值范围为．

18．（1）计算：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）1；（2）65.

【分析】根据指数运算法则，对（1）（2）进行计算即可.

【详解】（1）

．

（2）因为，所以，

所以，

所以．

19．已知函数.

(1)若关于x的不等式的解集为或，求实数m，n的值；

(2)从以下两个条件①，②中选择一个作为条件，求关于x的不等式的解集.

（注：选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)

(2)答案见详解

【分析】（1）结合一元二次不等式根与系数关系直接求解即可；

（2）若选①可得，对分类讨论即可求解；若选②，可得，对分类讨论即可求解；

【详解】（1）因为解集为或，所以，解得；

（2）若选①，则，

令得，

当时，的解集为；

当时，的解为；

当时，的解为；

若选②，则，令得

当时，的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为.

20．已知幂函数是定义在R上的偶函数.

(1)求的解析式；

(2)在区间上，的图象总在函数图象的上方，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由和函数为偶函数可直接求解；

（2）可将问题转化为对恒成立，对进行分类讨论，分离参数，结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又函数为偶函数，故，；

（2）原题可等价转化为对恒成立，

当时恒成立；

当时，分离参数得，即，由对勾函数图象特点可知在上单减，故，所以；

当时，分离参数得，由对勾函数图象特点可知在上单减，，所以，

所以

21．已知函数是定义在上的奇函数．

(1)求a的值；

(2)求函数的值域；

(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用函数是奇函数求解即可．

（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．

（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可．

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，

所以，解得，

当时，，此时，

所以时，是奇函数.

所以；

（2）由（1）可得，

因为，可得，所以，

所以，

所以，

所以函数的值域为；

（3）由可得，

即，可得对于恒成立，

令，

则，

函数在区间单调递增，

所以，

所以，

所以实数m的取值范围为．

【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法

若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.