2022-2023学年江苏省淮安市清河中学高一上学期第二次阶段测试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省淮安市清河中学高一上学期第二次阶段测试数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定，改量词、否结论，即可得出结果.

【详解】命题“，”的否定为“，”.

故选：D.

2．若，且为第四象限角，则的值等于

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵sina=,且a为第四象限角,

∴，

则，

故选D.

3．已知函数，则（    ）

A． B．-1 C．0 D．1

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】，

.

故选：D

4．若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（    ）.

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【解析】直接利用扇形面积公式计算得到，再计算弧长得到答案.

【详解】，

故选：

【点睛】本题考查了扇形面积，弧长的计算，意在考查学生的计算能力.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6．已知，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意得，根据三角函数的诱导公式，

可得，故选B.

7．已知定义域为的奇函数又是减函数，且则的取值范围是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据奇偶性将变形为，再根据函数单调性解不等式即可得答案.

【详解】解：根据题意得，

又因为是定义域为上的减函数，

所以有：

解得：

故选：B．

【点睛】本题考查利用函数单调性与就解不等式问题，考查数学运算能力，是中档题.

8．已知函数，，，则（    ）

A．的最大值为3，最小值为1

B．的最大值为，无最小值

C．的最大值为，无最小值

D．的最大值为3，最小值为-1

【答案】C

【解析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．

【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，如图

然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值．

由图象可知，当时，取得最大值，

所以由得或．

结合函数图象可知当时，函数有最大值，无最小值．

故选：．

【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出与的图象，根据图象得出函数的最值，由得或，得出答案，属于中档题.

二、多选题

9．下列命题中错误的是（    ）

A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等

C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小

【答案】ACD

【分析】根据任意角的概念以及象限角轴线角以及钝角的概念一一判断各选项，即可得答案.

【详解】当三角形为直角三角形时，一内角为直角，直角不属于第一、二象限角，故A错误；

始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；

取角为第四象限角，但不是负角，故C错误；

取为钝角，为第三象限角，但，故D错误，

故选：

10．已知，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.

【详解】解：因为，为减函数，

所以，

因为，为增函数，

所以，

又因为在区间上为减函数，在区间上也为减函数，

所以，同理可得，，

故选：ACD

【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.

11．下列四个命题：其中不正确命题的是（    ）

A．函数在上单调递增，在上单调递增，则在R上是增函数

B．若函数与x轴没有交点，则且

C．当时，则有成立

D．和不表示同一个函数

【答案】ABC

【分析】结合单调性的概念，二次函数的图象，不等式的性质和函数的定义判断各选项，错误选项可举反例说明．

【详解】A不正确，如满足题意，但在上不是增函数；

B不正确，若且，的图象与轴也没有交点；

C不正确，若满足，但；

D正确，，值域为，值域是，不是同一函数．

故选：ABC．

12．下列选项正确的是（    ）

A．若函数，则函数在上是奇函数

B．若函数是奇函数，则

C．若函数，则，，且，恒有

D．若函数，，，且，恒有

【答案】ABD

【解析】利用函数性质对选项进行判断得解

【详解】选项A:由奇函数定义，正确

选项B:由奇函数性质，正确

选项C:，因为是增函数，由函数性质得是增函数，故错误

选项D:由是下凸函数，由下凸函数性质，，且，恒有

,知正确

故选：ABD

【点睛】熟练运用函数性质是解题关键.

三、填空题

13．的值是_________.

【答案】

【分析】直接进行对数和分数指数幂的运算即可.

【详解】原式，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查对数的运算性质，分数指数幂的运算，属于基础题.

14．若正实数a，b满足，则的最小值为____________.

【答案】2

【分析】利用对数运算法则得到，然后利用基本不等式求最值即可.

【详解】可整理为，所以，

，当且仅当，即，时等号成立.

故答案为：2.

15．已知关于x的方程的两根为和（），则m的值为_______.

【答案】

【分析】根据韦达定理得到，，然后根据和求即可.

【详解】根据题意可得①，，①式平方可得，所以.

故答案为：.

16．若函数(且)，满足对任意的､，当时，，则实数a的取值范围为______.

【答案】

【解析】由题意可知，函数在上单调递减，利用复合函数的单调性分析出外层函数的单调性，再由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】由题意可知，函数在上单调递减，

由于内层函数在区间上单调递减，

所以，外层函数单调递增，则，

且当时，恒成立，即，

，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键点：

（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；

（2）不要忽略了真数要恒大于零.

四、解答题

17．已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.

【答案】当x＝1时，sin θ＝，tan θ＝3；当x＝－1时，此时sin θ＝，tan θ＝－3.

【分析】利用三角函数的定义求出x＝±1，根据x的值以及三角函数的定义即可求解.

【详解】由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝.

又∵cos θ＝x，∴＝x.∵x≠0，∴x＝±1.

当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.

当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握定义是解题的关键，同时考查了基本运算求解能力，属于基础题.

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.

设全集，__________，.

(1)当时，求，；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）若选①：解一元二次不等式求出集合，代入求出集合，再求，

，；

若选②：解分时不等式求出集合，代入求出集合，再求，，；

若选③：求出函数定义域可得集合，代入求出集合，再求，，；

（2）转化为B列出关于不等式组可得答案.

【详解】（1）若选①：，

当时，，

∴，或，

∴或；

若选②：，

∴，或，

∴或；

若选③：，

∴，或，

∴或；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，则有B

则有（不能同时取等号），

解得，

故实数a的取值范围为.

19．设函数

(1)当时，求的解集；

(2)函数在区间[1，3]有单调性，求实数a的取值范围；．

(3)求函数在区间[1，3]上的最小值h（a）．

【答案】(1)（1，3）

(2)或

(3)

【分析】（1）解一元二次不等式即可；

（2）根据其在特定区间内有单调性讨论实数a的取值范围即可；

（3）分类讨论参数a，然后分析单调性求出最值.

【详解】（1）当时，，∴，则解集为（1，3）．

（2），在区间[1，3]上单调

则或

所以或

（3）当时，，在[1，3]上是增函数，；

当时， ；

当时，在区间[1，3]上是减函数，；

综上，．

20．已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值

(2)求的值域；

(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用，解出值，检验即可；

（2）令，得到，最后得到，则求出值域；

（3）首先根据函数单调性的判定方法得到为减函数，再结合为奇函数，最终得到对恒成立，求出不等式右边的最小值即可.

【详解】（1）因为函数是上的奇函数所以

即:,解得，此时，

，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数.

（2），令，根据指数函数图像知，故，

则，，，

故的值域为.

（3）设，根据指数函数单调性知，在上为增函数，

故在上为减函数，故在上也为减函数.

又因为为奇函数，所以不等式恒成立

即恒成立，即恒成立

所以对恒成立，

即对恒成立，

因为函数所以

综上所述，的范围是.

21．已知，其中为奇函数，为偶函数.

（1）求与的解析式；

（2）判断函数在其定义域上的单调性；

（3）解关于t不等式.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】（1）根据，其中为奇函数，为偶函数，得到，两式联立求解.

（2）由（1）知的定义域为，令，用函数单调性的定义，证明t在上递减，再利用复合函数的单调性证明.

（3）将转化为,令，再研究在上的单调性和奇偶性求解.

【详解】（1），其中为奇函数，为偶函数.

所以，

即，

两式联立解得.

（2）由（1）知的定义域为，

令，

任取，

则，

因为，所以，

因为，

所以，

所以，即，

所以t在上递减，

又在上递增，

由复合函数的单调性得：在上递减.

（3）因为，

所以,

令，由（2）知在上递减，

又,

所以在上是奇函数，

即，

则，

解得，

所以不等式的解集是.

【点睛】方法点睛：复合函数的单调性

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，

若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；

若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．

22．已知函数，其中.

(1)当函数为偶函数时，求m的值；

(2)若，函数，，是否存在实数k，使得的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据偶函数定义即可求得参数m的值，（2）当时，，写出的表达式，利用换元法和一元二次函数的单调性即可求出符合题意的k的取值.

【详解】（1）当函数为偶函数时，，

所以，解得：.

经检验，符合题意，

故;

（2）当时，,

所以，，

，令，

则，

当即时，在上单调递增，

所以，解得：，符合题意；

当即时，无解；

当即时，在上单调递减，

所以，解得：，不合题意应舍去；

综上，.