2022-2023学年江苏省泰州市田家炳中学高一上学期第一次学情调研考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州市田家炳中学高一上学期第一次学情调研考试数学试题

一、单选题

1．已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（    ）

A．{0，1} B．{－1，1，3} C．{－1，0，1} D．{3，5}

【答案】D

【分析】求出集合B，然后求出即可

【详解】因为

所以

所以

故选：D.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】由可得，

由已知且，若，则，所以，，则，矛盾.

若，则，从而，合乎题意.

综上所述，“”是“”的充要条件.

故选：C.

3．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过和分别求出集合和集合，从而运用集合的交集求出

【详解】，

所以

故选：C

4．若x>0，y>0，且x+y=S，xy=P，则下列说法中正确的是（    ）

A．当且仅当x=y时S有最小值2

B．当且仅当x=y时P有最大值

C．当且仅当P为定值时S有最小值2

D．若S为定值，当且仅当x=y时P有最大值

【答案】D

【解析】通过基本不等式的性质化简进一步得出结论.

【详解】∵x，y∈R+，x+y=S，xy=P，

∴S=x+y≥2=2①，当且仅当x=y时取等号；

∴如果P是定值，那么当且仅当x=y时S的值最小，故A､C错误；

由①得，P≤=，当且仅当x=y时取等号；

∴如果S是定值，那么当且仅当x=y时P的值最大，故D正确，B错误.

故选：D.

5．《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的（    ）条件

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据已知条件分析“有毛”和“有皮”的互相推出情况，由此判断属于何种条件.

【详解】根据条件可知：“有毛”则一定“有皮”，但是“有皮”不一定“有毛”，

即“有毛”可以推出“有皮”，但是“有皮”不一定能推出“有毛”，

所以“有毛”是“有皮”的充分不必要条件，

故选：A.

6．“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据恒成立求出的范围,根据选项选出它的必要不充分条件即可.

【详解】解:由题知,不等式,恒成立,

只需,故,

则选项是的必要不充分条件,

即真包含于选项中,所以选D,

故选:D.

7．已知，则的最小值为（    ）

A．50 B．49 C．25 D．7

【答案】B

【分析】由结合基本不等式求解即可.

【详解】因为，所以，根据基本不等式，，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为49.

故选：B.

8．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】先得出为真命题，再分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.

【详解】由题意得：为真命题，

当时，，满足要求，

当时，要满足，

解得：，

综上：实数的取值范围是

故选：C

9．下列命题中，真命题的是（    ）

A．，都有 B．，使得

C．任意非零实数，，都有 D．函数的最小值为2

【答案】B

【分析】对于A，利用特殊值判断即可；对于B，当即可判断；对于C，令，即可判断；对于D，由基本不等式即可判断.

【详解】解：对于A，当时，，显然，

所以，都有成立为假命题.

对于B，显然当时，成立，故为真命题.

对于C，当时，则，故不成立，为假命题.

对于D，，当且仅当时，取等号，即，显然无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题.

故选：B.

二、多选题

10．设a，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据重要不等式可判断A；利用均值不等式，讨论a的取值，可判断B;利用作差法可判断C；利用均值不等式判断D.

【详解】因为a，且，成立，故A正确；

当时，，当且仅当时等号成立，

当a＜0时，，当且仅当时等号成立，故B不正确；

因为，所以，故C正确；

，，所以，

当且仅当时等号成立，故D正确．

故选：ACD．

11．若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（   ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】AB

【分析】求出二次函数的对称轴为，分别对和进行分类讨论，即可得到答案

【详解】解：二次函数的对称轴为，

①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，

且时，即满足题意；

②若时，

如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，

则时，，解得，

此时，，

综上，，

故选：AB．

12．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最小值 D．有最小值

【答案】BCD

【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.

【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误；

由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确；

由

，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确；

由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．命题“”的否定是_________．

【答案】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.

【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是“”.

故答案为：

14．，，且恒成立，则的最大值为__．

【答案】4

【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．

【详解】解：由于恒成立，且

即恒成立

只要的最小值即可

，，故，因此

故答案为：4．

15．已知正实数满足，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】根据结合基本不等式即可得解.

【详解】解：因为，

所以

，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为8.

故答案为：8.

16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.

【答案】

【分析】求出，再利用基本不等式求解.

【详解】由题意，，，

当且仅当时等号成立.

∴此三角形面积的最大值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知命题，是真命题．

（1）求实数的取值集合；

（2）设的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）由命题为真命题知在上恒成立，即即可，进而求实数的范围；

（2）由题意得，讨论、、分别求集合，根据集合包含关系列不等式求参数范围，最后整合即可.

【详解】（1）由题意得：，恒成立，令

∴问题转化为在上即可，又在单调递增，在单调递减，

∴，故，即

（2）由题意得：，

由（1）知：，而为的解集，

∴①时，成立；

②时，则，即，所以，即，无解；

③时，则，即，所以，即；

综上，或．

【点睛】结论点睛：不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：

（1），，则即可；

（2），，则即可.

集合包含关系求参数范围时，如或，注意的情况.

18．（1）求函数的最小值.

（2）已知，，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用配凑法再分离常数得到，利用基本不等式即可；

（2）对条件变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.

【详解】（1）解： ，

，

，

当且仅当时，即时，函数有最小值；

（2）由题意，

，又，，

，

当且仅当，即是等号成立，

结合，知时，有最小值为.

19．（1）已知，求的最大值；

（2）已知，求的最大值；

（3）已知，且，求的最小值.

【答案】（1） ;(2) ；（3）2.

【分析】（1）利用基本不等式，由，结合题中条件，即可得出结果；

（2）由，利用基本不等式，即可求出结果；

（3）根据，利用基本不等式，得到，解不等式，即可求出结果.

【详解】（1）,

，

当且仅当，

即时，.

（2）,

,

当且仅当，即时取等号，

的最大值为.

（3）由，

得,

当且仅当，即，时，取等号.

，

，

,

,

即的最小值为2.

【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

20．已知二次函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）不等式化为，因式分解后得出相应方程的根，根据二次函数性质写出不等式的解集．

（2）分离参数问题转化为在上有解，然后求出（）的最小值即可得．

【详解】解：（1）当时，，

即，即，

解得，

故不等式的解集为．

（2）原不等式为在上有解，

即在上有解，

记，，则，

又在上单调递增，

所以，所以．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，总有成立，故；

（2）若，有解，故；

（3）若，总有成立，故；

（4）若，有解，故．

21．定义一种新的集合运算：，且．若集合 ， ，．

(1)求集合M；

(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先化简集合，再根据题中定义的新集合运算求解即可；

（2）由若是的必要条件得到与的关系，对集合对于方程的跟大小分类讨论得到集合，再写出满足条件的不等式组，解不等式即可.

【详解】（1）解：， ，

故 且

或

；

（2）若是的必要条件，则，

①当即时，，则，即，

②当即时，，则，即，

③当即时，是空集，此时不满足条件，

综上，所求实数a的取值范围为或．

22．某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x万件，需另投入成本为．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入-总成本）

(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．

【答案】(1)

(2)生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1100万元

【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本，结合已知分段可得；

（2）分别根据二次函数的性质和基本不等式可得各段函数的最大值，然后比较可得.

【详解】（1）当，时，．

当时，．

∴．

（2）当时，

∴当时，取得最大值100（万元），

当时，,

当且仅当，即时等号成立．

即时，取得最大值1100万元．

∵，∴生产量为90万件时，

该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1100万元．