2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高一上学期第三次质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高一上学期第三次质量检测数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集的定义可得正确的选项.

【详解】，

故选：D.

2．下列函数中与是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.

【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；

对于B，与是同一函数，故B正确；

对于C，与的对应关系不同，故C不正确；

对于D，与的定义域不同，故D不正确.

故选：B

3．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由零点的存在性定理求解即可

【详解】∵，，

，，

根据零点的存在性定理知，

函数的零点所在区间为．

故选：B

4．已知函数（且）的图象过定点，则（    ）

A．5 B．6 C． D．8

【答案】D

【解析】指数函数过定点，所以只需令，即可求出定点坐标，进而求出的值.

【详解】解：，当时，

所以过定点，则，，则

故选：D.

【点睛】方法点睛：（1）令幂指数为0，求出的取值；

（2）当幂指数为0时，指数部分函数值为1；

（3）求出函数的函数值即可求出定点.

5．已知的定义域是，求函数的定义域（    ）

A．[−1，5] B．[2，5] C．[−7，5] D．[−2，10]

【答案】B

【解析】根据的定义域可得，根据抽象函数定义域求法可得：，即可求得答案.

【详解】因为的定义域是，

所以，即可得： ，

所以，即函数的定义域为[2，5]，

故选：B

6．三个数 之间的大小关系是（       ）

A．. B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解，即可比较大小.

【详解】解：，则，

，则，

，则，所以.

故选：B.

7．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“，”的否定是

“，”.

故选：A.

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.

8．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求出命题为真时对应的的范围，然后由集合包含关系得结论．

【详解】，则或，即命题为真对应集合或，

，则，命题为真对应集合，对应集合，

易知是的真子集，∴是的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

命题对应集合，命题对应的集合，则

（1）是的充分条件；

（2）是的必要条件；

（3）是的充分必要条件；

（4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系．

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．

B．集合、，若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】BCD

【分析】根据元素与集合的关系可判断A选项；利用交集与并集的性质可判断BC选项；利用交集的定义可判断D选项.

【详解】对于A，，A错；

对于B，因为且，则，

同理可得，所以，，B对；

对于C，因为，即，C对；

对于D，因为，，则，D对.

故选：BCD.

10．下列结论正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，的最小值是2

C．当时，的最小值为5

D．当，时，

【答案】AD

【解析】利用基本不等式和等号成立时取最值对选项逐一判断即可.

【详解】选项A中，时，，当且仅当，即时等号成立，故正确；

选项B中，时，， 当且仅当时，即时取等号，

但是，取不到最小值2，故错误；

选项C中，时，，则，

故，

当且仅当时，即时等号成立，取得最大值1，不存在最小值，故错误；

选项D中，当，时，，故 ，

当且仅当时等号成立，故正确.

故选：AD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意，

所以，

所以，A选项错误.

，B选项正确.

，C选项正确.

，D选项正确.

故选：BCD

12．下列说法中不正确的是（　　　）

A．已知函数，若，有成立；则实数的值为.

B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为

C．命题“”的否定是“”.

D．函数函数值域相同.

【答案】BC

【分析】每一个选项分别判断即可.

【详解】选项A：由题可知关于对称，所以，得，故选项A正确；选项B：当时，得，满足题意，故该选项错误；选项C：命题“”的否定是“”，故C错误；选项D：与的值域均为，故D正确.

故选：BC

三、填空题

13．把集合用列举法表示出来_______________.

【答案】

【解析】根据x为自然数及x的范围，即可列出x的所有取值，即可得答案.

【详解】因为且，

所以x的所有取值为4,5,6，

故答案为：

14．已知，，则_________.

【答案】##0.5

【分析】根据指数幂的运算法则即得.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

15．函数的定义域为_______________．

【答案】

【分析】由题意结合函数的定义域得到关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域.

【详解】由函数的解析式可得：，解得：，

综上可得，函数的定义域为：

【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

16．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是___________.

【答案】

【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f（x）在[-5，0]上的图象，这样根据f（x）在上的图象便可得出xf（x）<0的解集．

【详解】奇函数图象关于原点对称，作出在的图象如下：

由得或，

由图可知或，

的解集为.

【点睛】本题考查函数奇偶性、函数图象的综合，解题关键是根据函数奇偶性作出函数图象，利用数形结合思想求解，属于中等题.

四、解答题

17．（1）计算；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据对数运算，直接求解即可；

（2）根据指数运算，结合已知条件，直接求解即可.

【详解】（1）.

（2）因为，故可得，解得.

18．（1）已知，求；

（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用换元法或整体代换法求函数解析式即可；

（2）根据函数类型设解析式，再根据条件求解待定系数的值，即得结果.

【详解】解：（1）方法一：令，则.

将代入，得，

∴；

方法二：∵，

∴；

（2）设所求的二次函数为.

∵，∴，则.

∵对任意的都成立，

∴，即，由恒等式的性质，

得∴

∴所求二次函数的解析式为 .

【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法：

（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；

（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；

（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；

（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.

19．若不等式的解集是．

（1）试求的值；

（2）求不等式的解集．

【答案】(1) (2)

【分析】（1）由解集得到方程的根，利用韦达定理可求．

（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．

【详解】（1）因为不等式的解集是．

所以且的解是和．

故，解得 ．

（2）由（1）得，整理得到即，

解得，故原不等式的解集为．

【点睛】（1）一元二次不等式的解集的端点是对应的方程的根，也是对应的二次函数图像与轴交点的横坐标，解题中注意利用这个关系来实现三者之间的转化．

（2）一般地，等价于，而则等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.

20．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．

(1)求森林面积的年增长率；

(2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可；

（2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可.

【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：，

即，则，故.

故森林面积的年增长率为.

（2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：，

即，则，解得.

故该地已经植树造林年.

21．已知函数，且．

(1)求a的值；

(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．

【答案】(1)4

(2)在区间上单调递减，证明见解析

【分析】（1）直接根据即可得出答案；

（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论.

【详解】（1）解：由得，解得；

（2）解：在区间内单调递减，

证明：由（1）得，

对任意，且，

有，

由，，得，，又由，得，

于是，即，

所以在区间上单调递减．

22．已知函数

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)若，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)偶函数，证明见解析；

(3)或.

【分析】（1）由对数的性质列不等式组求x的范围，即可得y＝定义域；

（2）根据函数奇偶性的定义判断的奇偶性；

（3）化简函数的解析式为，结合已知及函数的奇偶性及区间单调性可得，由此求得m的范围．

【详解】（1）由对数的性质知：，即，

∴的定义域为.

（2）由，结合（1）所得的定义域，

∴偶函数.

（3）∵，

∴是[0,3上的减函数，又是偶函数.

∴，解得：或.