2022-2023学年四川省康定中学高一上学期第三次质量检测数学试题

四川省康定中学2022—2023学年度第一学期第三次质量检测

高一数学

满分: 150分   时间：120分钟

一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1.  函数 的定义域为 (     )

A. B. C. D.

2. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是(    )

A.与    B.与

C.与    D.与

3. 对于 , 且, 下列说法中, 正确的是（    ）

①若 , 则;         ② 若 , 则;

③ 若 , 则;       ④若 , 则.

A.①③ B.②④ C.② D.①②④

4.  已知 , 则

A. B. C.10 D.1

5.  函数 在区间上的最大值是 1 , 则的值是 (    )

A.5 B.4 C.3 D.2

6.  下列函数中, 既是奇函数又在区间 上单调递增的是

A. B.

C. D.

7. 若 , 且, 则的值可能为

A. B. C.7 D.10

8. 若关于 的方程且有两个不等实根, 则的取值范围是（

A. B.

C. D.

二、多项选择题（本题共4道小题，每小题5分，共20分．漏选得2分，错选得0分）．

9. 已知实数 满足, 则下列结论正确的是  (    )

A.              B.

C.            D.

10. 已知函数 , 则

A.是偶函数 B.值域为

C.在上递增 D.有一个零点

11. 已知函数 , 下面说法正确的有（      ）

A.的图象关于轴对称            B.的图象关于原点对称

C.的值域为        D., 且恒成立

12. 已知函数 , 则下列说法正确的是 (      )

A.                       B.函数 的图象与轴有两个交点

C.函数 的最小值为        D.函数 的最大值为 4

三 填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）．

13. 已知 , 则__________

14. 已知函数 , 则_________

15. 已知函数 是上的增函数, 则实数的取值范围是_________

16. 已知函数 , 则____________

四．解答题（ 本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17. (本题满分10分）求下列各式的值:

(1) (2)

18. (本题满分12分）设 , 求证:

(1) ;(2) .

19. (本题满分12分）已知函数 且.

（1）若 , 求的取值范围;

（2）求不等式 的解集.

20. (本题满分12分）已知函数 ;

(1) 判断函数 的奇偶性;

(2) 判断函数 的单调性;

(3) 若 , 求实数的取值范围.

21. (本题满分12分）已知函数 在区间上有最大值 4 和最小值 1 , 设.

(1) 求 的值

(2) 若不等式 在上有解, 求实数的取值范围.

22. (本题满分12分）已知定义域为 的函数是奇函数.

(1) 求 的值;

(2) 用定义证明 在上为减函数;

(3) 若对于任意 , 不等式恒成立, 求的范围.

四川省康定中学2022—2023学年度第一学期第三次质量检测

高一数学

参考答案及解析

一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1.  【答案】A

【解析】由题意得 , 解得, 所以所求函数的定义域为. 故选: A.

2.  【答案】C

【解析】对于 正确;

对于 B, , B 正确;

对于 C, , C 不正确;

对于 , D 正确. 故选: C

3.  【答案】C

【解析】对于①, 当 时,都没有意义, 故不成立;

对于②, , 则必有, 故正确;

对于③, 当 互为相反数且不为 0 时, 也有, 但此时, 故错误;

对于④, 当 时,都没有意义, 故错误.

综上, 只有②正确.

故选:C

4.  【答案】B

【解析】因为 , 所以, 因为, 则. 故选: B.

5.  【答案】C

【解析】因为 , 所以函数在区间上为增函数,

因为函数 (a>1) 在区间上的最大值是 1 , 所以, 解得, 故选:

6.  【答案】C

【解析】A. 函数 的定义域是, 所以函数是非奇非偶函数, 故错误;

B. 在上单调递减, 故错误;

C. 因为 , 所以函数是奇函数, 且在上单调递增, 正确;

D. 因为 , 所以函数是偶函数, 故错误; 故选: C.

7.  【答案】D

 【解析】设 , 则且,

,

, 所以. 故选: D.

8.  【答案】D

【解析】设 , 关于的方程且有两个不等实根, 转化为函数与函数有两个交点,

当 时, 在同一直角坐标系内, 函数与函数的图象如下图所示:

显然函数 与函数的图象只有一个交点, 不符合题意;

当 时, 在同一直角坐标系内, 函数与函数的图象如下图所示:

函数 与函数有两个交点, 则有, 故选: D

二、多项选择题（本题共4道小题，每小题5分，共20分．漏选得2分，错选得0分）．

9.  【答案】BC

【解析】 选项:为单调减函数, 所以;

选项：与, 当时, 当时, 所以

C选项: 在时, 而在时, 所以;

D选项: 在上单调递增, 所以; 故选: BC.

10. 【答案】BD

 【解析】画出 的函数图象如下:

由图可知, 既不是奇函数也不是偶函数, 故 A错误;

值域为, 故 B 正确;

在单调递减, 在单调递增, 故 C 错误;

有一个零点 1 , 故 D 正确. 故选: BD.

11. 【答案】BC

【解析】 的定义域为关于原点对称,

, 所以是奇函数, 图象关于原点对称,

故选项 A 不正确, 选项 B 正确;

, 因为, 所以, 所以,, 所以, 可得的值域为, 故选项 C 正确;

设任意的 ,

则

因为 , 所以,

即 , 所以, 故选项 D 不正确; 故选: BC

12. 【答案】ABC

 【解析】【解析】A 正确, ;

正确, 令, 得,

解得 或, 即的图象与有两个交点;

C 正确, 因为 , 所以当, 即时,取最小值;

D 错误, 没有最大值; 故选:.

三 填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）．

13.  【解析】因为 , 而, 所以. 故答案为: 3

14. 【解析】由 , 则故答案为: 8

15. 【解析】函数 是上的增函数, 函数

解得 . 故答案为:

16. 【解析】因为 ,, 且, 则.

故答案为

四．解答题（ 本题共4道小题，共 40 分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17. 【解析】

（1）

(2)

18. 【解析】

(1) ;

(2) , 又.

19. 【解析】(1) 函数且,

, 函数. 若, 故的取值范围为.

(2) 不等式 , 即, 解得, 故不等式的解集为.

20. 【解析】(1) 由 得，或, 又,

故函数 是奇函数;

(2) 令 , 其在上单调递增, 又在上单调递增,

根据复合函数的单调性可知 在上单调递增,

又根据 (1) 其为奇函数可得 在上单调递增,

所以函数 的单调增区间为;

(3) , 且函数在上单调递增得,

解得 或.

21.  【解析】(1) 由题意 , 又在 [2,3]上单调递增,

, 解得.

(2) 由（1） ,时,, 令, 则在 [1,2] 上有解,

, 则的最大值为,

, 即的取值范围是.

22. 【解析】(1) 为上的奇函数,, 可得

又

, 解之得

经检验当 且时,, 满足是奇函数.

(2) 由 (1) 得 ,

任取实数 , 且

则

, 可得, 且

, 即, 函数在上为减函数;

(3) 根据 (1) (2) 知, 函数 是奇函数且在上为减函数.

不等式恒成立, 即也就是:对任意的都成立.

变量分离, 得 对任意的都成立,

, 当时有最小值为

, 即的范围是.