2022-2023学年四川省泸定中学高一上学期第三次质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸定中学高一上学期第三次质量检测数学试题

一、单选题

1．函数y＝的定义域为（    ）

A．(1,2) B．[1,2)

C．(1,2] D．[1,2]

【答案】A

【分析】根据具体函数的定义域建立不等式组，解之可得选项.

【详解】解：由题意得，解得1<x<2，所以所求函数的定义域为(1,2)．

故选：A.

2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ）

A．与 B．与

C．与  D．与

【答案】C

【解析】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案.

【详解】由可得 ,C不正确

故选：C

【点睛】本题考查指数式与对数式互化公式：且.属于基础题.

3．对于 ，且，下列说法中，正确的是（    ）

①若 ，则 ;         ② 若，则;

③ 若 ，则;       ④若 ，则.

A．①③ B．②④ C．② D．①②④

【答案】C

【分析】根据对数的含义以及性质一一判断各选项，即可判断出答案.

【详解】对于①，当 时， 都没有意义，故不成立;

对于②，，则必有 ，故正确;

对于③，当 互为相反数且不为 0 时，也有，但此时，故错误;

对于④，当时，都没有意义，故错误.

综上，只有②正确.

故选：C

4．已知，，则（    ）

A． B． C．10 D．1

【答案】B

【分析】依题意首先求出，再根据指数与对数的关系计算可得；

【详解】解：因为，，

所以，

因为

则．

故选：B．

5．函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】由题意可得，从而可求出a的值，

【详解】解：因为，所以函数在区间[1，3]上为增函数，

因为函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，

所以，解得，

故选：C

6．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.

【详解】A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；

B.在上单调递减，故错误；

C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；

D.因为，所以函数是偶函数，故错误；

故选： C．

7．若，且，则的值可能为（    ）

A． B． C．7 D．10

【答案】D

【分析】设，把指数式改为对数式，利用对数的运算求解．

【详解】设，则且，

，

，

，所以．

故选：D．

8．若关于的方程（且）有两个不等实根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】问题转化为函数交点问题，根据的不同取值，结合指数型函数的性质分类讨论求解即可.

【详解】设，关于的方程（且）有两个不等实根，转化为函数与函数有两个交点，

当时，在同一直角坐标系内，函数与函数的图象如下图所示：

显然函数与函数的图象只有一个交点，不符合题意；

当时，在同一直角坐标系内，函数与函数的图象如下图所示：

函数与函数有两个交点，则有，

故选：D

【点睛】方法点睛：方程有解问题转化为函数交点问题，利用数形结合思想进行求解.

二、多选题

9．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.

【详解】A选项：为单调减函数，所以；

B选项：与，当时，当时，所以；

C选项：在时，而在时，所以；

D选项：在上单调递增，所以；

故选：BC.

【点睛】本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.

10．已知函数，则（    ）

A．是偶函数 B．值域为

C．在上递增 D．有一个零点

【答案】BD

【分析】画出的函数图象即可判断.

【详解】画出的函数图象如下：

由图可知，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

值域为，故B正确；

在单调递减，在单调递增，故C错误；

有一个零点1，故D正确.

故选：BD.

11．已知函数，下面说法正确的有（    ）

A．的图象关于轴对称

B．的图象关于原点对称

C．的值域为

D．，且，恒成立

【答案】BC

【解析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.

【详解】的定义域为关于原点对称,

，所以是奇函数，图象关于原点对称，

故选项A不正确，选项B正确；

，因为，所以，所以，

，所以，可得的值域为，故选项C正确；

设任意的，

则，

因为，，，所以，

即，所以，故选项D不正确；

故选：BC

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法

（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义作出结论.

即取值---作差----变形----定号----下结论.

12．已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3，则下列说法正确的是（    ）

A．f(4)=-3

B．函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点

C．函数y=f(x)的最小值为-4

D．函数y=f(x)的最大值为4

【答案】ABC

【分析】利用对数运算，即可求得；令，求得方程的根，即可求得与轴交点的个数；利用换元法即可求得该函数的最值.

【详解】因为f(x)=(log2x)2-log2x2-3=(log2x)2-2log2x-3，

故f(4)=(log24)2-2log24-3=22-2×2-3=3，故A正确.

令f(x)=0得log2x1或log2x=3，

故x=或x=8，即方程f(x)=0有两个不等实根，

则函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，故B正确.

令log2x=t，则y=t2-2t-3=(t-1)2-4(t∈R)，

此函数有最小值4，无最大值.

故函数y=f(x)有最小值4，无最大值.

故C正确，D错误.

故选：.

【点睛】本题考查对数运算以及对数方程的求解，涉及二次项对数复合函数值域的求解，属综合基础题.

三、填空题

13．已知logx27＝3，则x＝________.

【答案】3

【分析】利用指对数互化即可求出x.

【详解】因为x3=27，而33=27，所以x=3.

故答案为：3

14．已知函数，则___________.

【答案】8

【分析】由函数解析式，代入求值.

【详解】由，

则

故答案为：8

15．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据函数是上的增函数，则每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值.

【详解】函数是上的增函数，

函数，

解得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.

16．已知函数，，则________．

【答案】

【分析】发现，计算可得结果.

【详解】因为，

，且，则.

故答案为-2

【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.

四、解答题

17．求下列各式的值：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据对数运算法则计算即可得答案；

（2）根据对数运算与指数运算法则运算求解即可.

【详解】解：（1）；

（2）.

18．设 ，求证:

(1) ;

(2) .

【答案】(1)证明见解析.

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据，利用指数幂的运算化简，即可证明结论.

（2）求出，再求出的结果，即可证明结论.

【详解】（1）

证明：

，

故;

（2）证明： ，又 ，

所以.

19．已知函数（且），．

（1）若，求的取值范围；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）；（2） ．

【分析】（1）根据求出的值，由得出的范围，由对数函数的性质可得结果；

（2）由对数的性质可得，进而可得的范围.

【详解】（1）函数（且），，

，函数．

若，，

故的取值范围为．

（2）不等式，即，，解得，

故不等式的解集为．

20．已知函数；

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断函数的单调性；

（3）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或

【解析】（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；

（2），则，利用复合函数的单调性判断；

（3）利用函数单调性解不等式即可．

【详解】解：（1）由得，或，

又，

故函数是奇函数；

（2）令，其在上单调递增，

又在上单调递增，

根据复合函数的单调性可知在上单调递增，

又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，

所以函数的单调增区间为，；

（3），且函数在上单调递增得，

解得或．

21．已知函数在区间上有最大值 4 和最小值 1 ，设 .

(1)求 的值

(2)若不等式 在上有解，求实数的取值范围.

【答案】(1) .

(2) .

【分析】（1）判断函数在上的单调性，即可根据最值列出方程，解得答案.

（2）由（1）可得的表达式，将不等式 在上有解，转化为在上有解，即在上有解，分离参数，结合二次函数知识，即可求得答案.

【详解】（1）由题意图象的对称轴为 ,

在上单调递增，

，解得.

（2）由（1）知 ，

当时， ，令 ，

则在上有解，

即在上有解，

由，，

因为，则在时取得最大值，最大值为，

，即的取值范围是 .

22．已知定义域为 的函数是奇函数.

(1)求 的值;

(2)用定义证明 在上为减函数;

(3)若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围.

【答案】(1)，.

(2)证明见解析.

(3)

【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.

（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.

（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.

【详解】（1）为上的奇函数，，可得

又 , ,解之得,

经检验当 且时， ，

满足是奇函数,

故，.

（2）由（1）得 ，

任取实数 ，且，

则 ，

，可得，且，故，

，即，

所以函数在上为减函数;

（3）根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数.

不等式 恒成立，

即恒成立，

也就是:对任意的都成立，

即对任意的都成立，

，当时取得最小值为，

，即的范围是.