2022-2023学年皖豫名校联盟高一上学期阶段性测试（二）数学试题（解析版）

2022-2023学年皖豫名校联盟高一上学期阶段性测试（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算即可.

【详解】 ，

故．

故选：D

2．若关于x的不等式的解集是或，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】利用根与系数关系求得，进而求得.

【详解】依题意，关于x的不等式的解集是或，

所以关于x的方程的根为或，

所以，

所以.

故选：A

3．若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由指数函数的单调性解出的范围，再由充分性、必要性的定义即可得出答案.

【详解】由，即，解得，

则成立的充分不必要条件可以是．

故选：A.

4．已知函数，是的反函数，则（    ）

A．10 B．8 C．5 D．2

【答案】C

【分析】根据对数函数与指数函数的反函数关系,再应用对数及指数运算即可.

【详解】因为函数，所以，所以，

，即．

故选:

5．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式.

【详解】因为为幂函数，所以，则，

故的定义域为，且在定义域上为增函数，

所以由，可得，解得，

故a的取值范围为.

故选：B.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数的奇偶性，排除选项A，D．再通过，排除选项B即得解.

【详解】解：由题可知的定义域为，

，

所以为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，排除选项A，D．

因为，排除选项B.

故选：C．

7．已知函数的值域为，且满足，若在（）上的值域为，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】由，求出对称轴，由二次函数对称轴可以求出

的值，再有函数值域可以求出，所以即可得函数的解析式，

在由在（）上的值域为，

所以令求出的最值即可得

的最值.

【详解】由，可得函数的对称轴为；

由函数得：，，

所以．因为的值域为，

所以，可得，

故．

若在（）上的值域为，

令，解得或．

所以m最小为，n最大为3，

则的最大值为4．

故选：D.

8．已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先解关于的一元二次方程,得到两个实根,由题意和共有3个实根,数形结合,可得的取值范围

【详解】作出函数的大致图象如图所示．

由可得．

由图可知，方程有两个不等的实根，

由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或．

故选:

二、多选题

9．下列命题是真命题的是（    ）

A．函数是减函数

B．“至少有一个整数x，使得是质数”是存在量词命题

C．，

D．命题p：，的否定是：，

【答案】ABD

【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断AC；根据存在量词命题的概念以及全称量词命题的否定可判断BD.

【详解】对于A，，是减函数，所以A正确；

对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在量词命题，所以B正确；

对于C，，，所以C错误；

对于D，命题p：，的否定是：，，所以D正确．

故选：ABD.

10．已知，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.

【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；

对于B，显然，则，则，故B正确；

对于C，因为，所以，所以，同理可得，

即，故C正确；

对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．

故选：BC

11．若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用给定的定义，逐项分析函数的单调性，并求出函数值域判断作答.

【详解】对于A，在上是增函数，当时，函数值域是，A不是；

对于B，在上单调递增，当时，函数值域是，B是；

对于C，在上单调递减，当时，函数值域是，C不是；

对于D，在上单调递增，当时，函数值域是，D是．

故选：BD

12．已知函数，则（    ）

A．不等式的解集是

B．

C．存在唯一的x，使得

D．函数的图象关于原点对称

【答案】BD

【分析】对选项A，将题意转化为，再根据的单调性即可判断A错误，对选项B，根据求解即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C错误，对选项D，根据奇函数的定义即可判断D正确.

【详解】对于A，不等式即，

又在上单调递减，所以，即，

解集为，A错误；

对于B，由得，，

又，

所以，B正确；

对于C，因为，所以，

所以不存在，使得，C错误；

对于D，定义域为，

，

故是奇函数，其图象关于原点对称，D正确．

故选：BD

三、填空题

13．已知集合，则________．

【答案】

【分析】解分式不等式可得集合A，后由补集定义可得答案.

【详解】由题可知或，则．

14．已知函数，若，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【分析】分析出函数单调性，将不等式变形，即可求解.

【详解】易知函数在上单调递增，且．

即，

所以，

所以．

故答案为：.

15．若函数的最小值为，则实数的值为________．

【答案】##

【分析】换元法令，，分，两种情况讨论即可.

【详解】由题可知，解得．

因为，，

令，．

因为的最小值为，

当时，无最小值，不满足题意，

所以，

因为，即，

所以，解得．

故答案为：

16．若，不等式恒成立，则实数k的取值范围是________．

【答案】

【分析】先由题意确定，分类讨论与两种情况，将问题转化为恒成立问题，再利用对勾函数的单调性即可得解.

【详解】因为不等式对任意恒成立，且，所以，

当时，不等式恒成立等价于，即对于任意恒成立，即，

令，，则，

由对勾函数性质易得在时，单调递增，故，

则，与矛盾，故此时k不存在；

当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立，

当时，显然成立，

当时，不等式等价于对于任意恒成立，即，

令，，则，

由对勾函数性质易得在时，单调递减，故，

则，故；

综上：，即．

故答案为：.

四、解答题

17．化简下列各式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用根式与分数指数幂互化，指数运算法则求解作答.

（2）根据给定条件，利用对数运算法则、换底公式求解作答.

【详解】（1）原式．

（2）原式

．

18．已知集合是函数的定义域，.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合、，再根据并集运算即可；

（2）分和两种情况，结合包含关系讨论求解即可.

【详解】（1）由，即，所以，

当时，，

所以.

（2）由（1）知，，，且，

当时，有，即.

当时，有，即.

综上所述，的取值范围为.

19．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变．

(1)若，求过滤2 h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少；

(2)若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4 h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意将代入计算即可得到污染物的浓度与初始浓度的比值；（2）由前4 h消除了80%的污染物，可得，再根据污染物的浓度不超过初始浓度的4%求得处理的总时间，可得结果.

【详解】（1）过滤2 h后，，

所以污染物的浓度与初始浓度的比值是；

即污染物的浓度与初始浓度的比值是.

（2）由题意知，前4 h消除了80%的污染物，

又因为，

所以，得．

设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为，

由，即，

得，联立，得

，所以，

故至少还需过滤才能排放．

20．已知，且．

(1)证明：；

(2)证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立.

（2）结合综合法以及基本不等式证得结论不等式成立.

【详解】（1）

，

当且仅当时取等号，所以．

（2）由基本不等式可得，

当且仅当，即时取等号，

∴，同理，，

由题可知上述三式等号不能同时成立．

∴，

即原不等式得证．

21．已知函数．

(1)判断函数的奇偶性并加以证明；

(2)若关于x的不等式有解，求实数t的取值范围．

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求得正确答案.

（2）结合函数的单调性、奇偶性等知识化简不等式，从而求得的取值范围.

【详解】（1）函数为奇函数．

证明如下：

易知的定义域为，

因为，

所以为上的奇函数．

（2），所以在上单调递增，

,所以是奇函数．

不等式有解即有解，

由的奇偶性可知进一步等价于有解，

由的单调性可知进一步等价于有解，

即不等式有解．

因为，所以，，

所以的取值范围是，

所以，即，

所以实数的取值范围是．

【点睛】求解函数奇偶性的问题，注意两点，第一点是首先要求函数的定义域，奇偶函数的定义域关于原点对称；第二点是利用奇偶性的定义，判断还是.

22．已知二次函数满足，且．

(1)求的解析式；

(2)已知，讨论在上的最小值；

(3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）设，代入得到值，计算，得到方程组，解出值，即可得到解析式；

（2）分，和讨论，结合函数单调性即可得到其最小值；

（3）不等式化简为，分和讨论，当时，利用函数的单调性即可得到不等式组，解出即可.

【详解】（1）设，因为，所以，

则

因为，

所以解得

故．

（2）．

当，即时，在上单调递减，

所以；

当且，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

所以；

当时，在上单调递增，

所以．

综上，当时，；

当时，；

当时，．

（3）不等式可化简为．

因为，所以．

要使时，恒成立，显然时不可能．

当时，因为函数、在上均为增函数，

则函数在单调递增，故解得．

综上可知，实数的取值范围为．

【点睛】关键点睛：本题第二问属于轴定区间动问题，对其分类讨论的情况需要结合其开口方向，所问的是最大值还是最小值，抓住对称轴这一关键位置，数形结合讨论最值，第三问是一个函数恒成立问题，本问需要对进行分类讨论，尤其是当时，需要构造新函数，利用其单调性得到不等式组.