2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中数学试题

一、填空题

1．两条异面直线所成角的取值范围是________

【答案】

【分析】由异面直线所成角的定义求解．

【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是

故答案为：

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．

2．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________.

【答案】

【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可.

【详解】因为是等差数列,

所以，

又因为，所以.

故答案为:.

3．已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为________.

【答案】或

【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论.

【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或.

故答案为：或.

4．若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为____.

【答案】1

【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解.

【详解】当时，，当时，，

所以，

又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，

此数列的前项和，则的值为.

故答案为：1.

5．若数列为等比数列，且，则________.（其中为正整数）

【答案】

【分析】求出新等比数列的公比代入求和公式即可.

【详解】因为数列为等比数列，，所以.

则.

故答案为：4.

6．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.

【答案】

【分析】求出底面半径，代入公式即可.

【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，

所以圆锥的母线长为，

设圆锥的底面半径为，则，所以，

所以圆锥的表面积为.

故答案为：.

7．如图所示，在地面上两点测得建筑物的仰角为，，若，则该建筑物的高度为________.

【答案】

【分析】先将未知量转化到同一个三角形中，再利用勾股定理即可求解.

【详解】因为在地面上两点测得建筑物的仰角为，

所以，即，

又因为，所以，

所以，所以，

即该建筑物的高度为..

故答案为：.

8．有一个细胞团开始时有4个细胞，每次分裂前死去1个，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则（为正整数）次分裂之后共有细胞的个数是_______.

【答案】

【分析】设次分类后共有个细胞,则根据题意可得递推公式,

通过构造等比数列即可求得通项公式.

【详解】由题意可设次分类后共有个细胞，

则第次分裂后共有细胞个数为，

即,且，

对数列等式两端同时减去2,可得，

即,，

所以数列是以为首项,为公比的等比数列，

所以,化简可得，

即次分裂之后共有个细胞.

故答案为:

9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形的面积为，则原梯形的面积为_______.

【答案】

【分析】根据原图形面积是直观图面积的倍即可求解.

【详解】设直观图的上下底为，高为，则直观图的面积为，

则原梯形的上下底为，高为，

所以原梯形的面积等于,

即原图形面积是梯形的面积倍，

因为梯形的面积为，所以原梯形的面积是.

故答案为:4.

10．已知函数，数列满足，为正整数，若，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性与数列的最小值联系即可求解.

【详解】当时，函数严格单调递减，

当时，函数严格单调递增，

所以当时，取到最小值，

因为数列满足，

若，则是数列的最小项，

所以，故实数的取值范围是.

故答案为: .

11．中，边上的中垂线分别交于，若，则_______.

【答案】

【分析】利用平面向量的基本定理和余弦定理即可求解.

【详解】因为，所以，

且，

所以，

所以，且，

在中，由余弦定理得即

，

所以.

故答案为:4.

12．定义，设函数，数列是等比数列，公比，且，则首项_______.

【答案】##0.125

【分析】根据题设对函数的定义结合等比数列运算求解.

【详解】因为对任意实数，定义，

函数，

数列是公比大于的等比数列，且.

①当时，因为，

所以，

由等比数列通项公得，所以，

整个数列为，

因为，

所以代入得

即

由对数运算

所以式化简得，即，所以.

②当时，，

此时.

，所以不成立.

③当时，，所以，

整个数列为，

所以，

因为，

代入得

，

即

由对数运算，

所以式化简得.

因为当时，，所以等式左边大于，等式右边小于，方程无解.

综上所述，.

故答案为：.

二、单选题

13．“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等差数列和等比数列的定义,结合充要条件定义判断即可.

【详解】充分条件:若“数列为等差数列” 成立，则有（常数），

所以(常数)，所以数列为等比数列.

必要条件:若“数列为等比数列”，所以为常数，

所以为常数，所以数列为等差数列，

所以数列为等差数列是数列为等比数列的充要条件.

故选:.

14．在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可知旋转后的几何体如图: 

直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为

故选C.

【解析】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.

15．实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（　　）

A．可能是等差数列，也可能是等比数列

B．可能是等差数列，但不可能是等比数列

C．不可能是等差数列，但可能是等比数列

D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列

【答案】B

【分析】由实数a，b满足a•b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案．

【详解】（1）若a＞b＞0

则有a＞＞＞b

若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，

解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列

若能构成等比数列，则a•b=，得，

解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列

（2）若b＜a＜0，

则有

若能构成等差数列，则，得2=3a-b

于是b＜3a

4ab=9a2-6ab+b2

得b=9a，或b=a（舍）

当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列．

于是b=9a＜0，满足题意

但此时•b＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列

故选B

【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．

16．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确的序号是（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.

【详解】连接，则交于，又因为为中点，

得，由平面，平面,

得，得，故①正确；

由平面，得平面，

而平面与平面不平行，所以平面错误，

故②错误；

因为与所成角就是，连接,

 则为等边三角形，

所以，故③错误；

由分别是的中点，得，

平面，平面，

得平面，

故④正确；

故选:B.

三、解答题

17．在中，.

(1)求证：；

(2)求的长；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用向量的数量积公式和正弦定理结合求解；

(2)利用向量的减法运算求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

所以，即，

由正弦定理得，，

又因为，所以，

在等式两边同时除以，得；

（2）由题意得，

所以，即.

18．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体 中，平面是棱的中点.

(1)证明：，并判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角；若不是，说明理由；

(2)若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析，四面体是鳖臑，直角分别为，和

(2)

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质即可说明；(2)利用等体积法求出椎体的高，进而利用三角函数值求线面夹角的正弦值.

【详解】（1）因为平面平面，所以，

因为是棱的中点，所以，

又平面，所以平面，

因为平面，所以，所以四面体是鳖臑，

直角分别为，和.

（2）设到平面的距离为，

因为平面，所以

因为四面体是鳖臑，，是棱的中点，，

所以，所以，，

因为，所以平面，平面，则，

即，所以，

设直线与平面所成角为，

所以，

所以直线与平面所成角的大小为.

19．西部某地区有沙地亩，从年开始每年在沙地植树造林，第一年年底共植树亩，以后每一年年底比上一年年底多植树亩.

(1)假设所植树苗全部成活，则到哪一年年底植树后可将沙地全部绿化？

(2)若每亩所植树苗木材量为立方米，每年所值树木，从它种下的第二年起，木材量自然增长率为，求沙地全部绿化后的那年年底该山林的木材总量 (精确到整数).

【答案】(1)年

(2)立方米

【分析】（1）利用等差数列求和公式即可求解；

（2）利用等比数列求和公式即可求解

【详解】（1）设植树年年底后可将沙地全部绿化，记第年年底植树量为，

由题意得数列是首项为，公差的等差数列，

所以，所以，

所以，因为，所以，

所以到年年底植树后可以将荒山全部绿化.

（2）设年初木材存量为，到年底木材存量增加为，

年初木材存量为，到年底木材存量增加为，

，年初木材存量为，到年底木材存量增加为

则到年年底木材总量为

两式作差得

，所以，

答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量立方米.

20．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，.

(1)求证：平面；

(2)求到平面的距离；

(3)设与交于点，为中点，求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明;

(2)应用等体积法计算可求;

(3)应用线面垂直的判定定理,结合二面角平面角定义,找到平面角计算即可.

【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，

因为平面，在平面内，

所以，

又因为，平面,平面.所以平面.

（2）设到平面的距离为，

因为平面，所以

因为底面是边长为的菱形，，.

所以，

所以，解得；

（3）过作交于，连接，

由(1)因为平面，平面,,,平面,平面,所以平面,平面得，

平面,平面,所以为的平面角，

因为底面是边长为的菱形，，

所以，

从而，

所以，又二面角为锐角，

所以二面角的平面角大小为.

21．已知数列的各项均为正数，且，对任意的正整数，都有.

(1)求证：是等比数列，并求出的通项；

(2)设，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；

(3)在（2）中，设，数列的前项和为，是否存在正整数、且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

(3)存在，

【分析】（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，分析可得出，，进而可得出，结合分组求和法可求得结果；

（3）利用裂项求和法可求得，根据等差数列的定义可得出，可得出，求出的取值范围，结合且可求得的值，并求出的值，即可得出结论.

【详解】（1）解：因为，且，所以，且，

故数列为等比数列，且首项为，公比为，

所以，，故.

（2）解：，且 ，

其中（常数），

所以数列是以为首项、为公差的等差数列，

，，，，

由（1）得，，，因为，，

所以

.

（3）解：，

其中，，，

假设存在正整数、且，使得、、依次成等差数列，

则有，即，所以，解得，

又因为，，所以，此时，

所以存在满足题设条件的、，.