2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末复习（一）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末复习（一）数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末复习（一）数学试题 一、单选题1．已知复数，则（    ）A．3 B． C．2 D．1【答案】B【分析】首先根据复数的除法运算性质化简复数，再结合复数的模的概念计算即可.【详解】，则.故选：B.2．向量，，若，则的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量平行，得到方程组，求出的值，得到答案.【详解】由题意得：，即，解得：，故.故选：C3．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．平行或线在面内【答案】A【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.故选：A.4．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，则可设，又点在平面外，则，即，则，又，所以，解得，，故选：C．5．是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（    ）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】将点代入，可得，即可求出准线方程，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得【详解】解：因为是抛物线上一点，所以，则抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，，故选：A.6．已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】直线方程变为，可得定点.根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】可变形为，解得，即点坐标为.因为，所以直线的斜率为，又过点，代入点斜式方程可得，整理可得.故选：A.7．在正方体中，E为中点，，使得，则（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】正方体中存在三条互相垂直的直线，故我们可以建立空间直角坐标系进行计算.【详解】如图建系，设棱长为6，则，解之：故选：C8．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；由圆的方程知：圆心为，半径；与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，两条渐近线截圆所得弦长相等，不妨取，即，则圆心到直线距离，弦长为，解得：，双曲线离心率.故选：C.9．已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（    ）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由是抛物线的准线，推导出点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值即为点到直线的距离和点到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】是抛物线的准线，到的距离等于.过P作于 Q，则到直线和直线的距离之和为抛物线的焦点过作于，和抛物线的交点就是，∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立）点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，最小值．故选：C．10．双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．8 D．14【答案】B【分析】由双曲线定义及渐近线方程得，，结合均值不等式、对勾函数单调性及的取值范围求最小值即可.【详解】由一条渐近线方程为得，由双曲线定义可知，，.要使的值最小，则应尽可能大，应尽可能小，故点M应为双曲线右支上一点，故，即.故，当且仅当即时等号成立，此时，故取不到等号.对勾函数在单调递减，在单调递增，∵，∴，故当时，取得最小值为4.故选：B. 二、填空题11．已知复数，则的虚部为________.【答案】1【分析】由复数除法得出，即可得虚部【详解】，故虚部为1.故答案为：112．若空间中有三点 ，则点到平面的距离为______.【答案】 ##【分析】求出平面的法向量，利用空间距离的向量公式去求到平面的距离可得答案.【详解】由可得,设平面的一个法向量为,则 ，即 ，令，则 ，又 ,则点到平面的距离为 ,故答案为: .13．在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量不一定共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得．其中正确命题的是______．【答案】③【分析】根据共线向量和共面向量的相关定义判断即可.【详解】①若向量共线，则向量所在的直线可以重合，并不一定平行，错误；②若向量所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故共面，错误；③若两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则不一定共面，正确；④只有当空间的三个向量不共面时，对于空间的任意一个向量总存在实数使得，若空间中的三个向量共面，此说法不成立，错误；综上③正确，故选：③14．已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为___________.【答案】##【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，因此的最小值，即的最小值，而，所以的最小值为=故答案为：【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.15．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为______.【答案】【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，结合图象，即可求得.【详解】设，，所以，又，所以．因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，因为，所以直线方程为：即，圆心到直线距离，即直线与圆相交.（如图中的点均满足）又因为，所以的最小值为．故答案为：. 三、解答题16．若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：(1)，满足的关系式；(2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系；(3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析 【分析】（1）依题意，，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解；（2）首先表示出直线、，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；（3）按照函数的平移变换规则将直线进行平移变换，即可求出，从而求出直线的方程，即可求出，再根据（1）求出直线的方程，即可求出的值；【详解】（1）解：依题意，，且，均不为或，若选①，则，则，即；若选②，则（2）解：依题意直线：，直线：，又过，所以且，即且，又过，所以且，即且；若选①，则，所以，即且、；若选②，则，所以，即且、；（3）解：直线：，将直线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，即，所以，解得，此时直线：，所以，解得；若选①，则，此时直线：，所以，解得；若选②，则，此时直线：，所以，解得；17．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点.(1)若为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率；(2)如果存在点P，使得，且的面积等于9，求b的值和a的取值范围.【答案】(1)或(2)， 【分析】（1）根据或或进行分类讨论，通过求来求得椭圆的离心率.（2）根据已知条件列方程求得，判断出，结合求得的取值范围.【详解】（1）为等腰直角三角形可知有三种情况．当时，，，于是，得；当时，同理求得；当时，则P在椭圆短轴的端点，，，解得，所以椭圆的离心率为或.（2）设，由的面积等于9，得，①由，得，②再由P在椭圆上，得，③由②③及，得，又由①知，故，由②③得，，从而，故，，时存在满足条件的点P，故，a的取值范围为18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的动点，．(1)证明：平面；(2)当为何值时，平面与平面所成的夹角最小？【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)先证明平面，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，，由线面垂直判定定理证明平面；(2)求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角余弦，再求其最小值可得的取值.【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面，所以．因为，，平面，平面，所以平面．所以，，两两垂直．以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，所以，，，，，，因为，，，所以，，所以，，因为，，平面，所以平面．（2）由题设．设平面的法向量为，因为，，所以，即．令，则．因为平面的法向量为，设平面与平面所成的夹角为，则，当时，取最小值为，此时取最大值为，此时，符合题意．故当时，面与面所成的夹角最小．19．如图，已知动圆过点，且与圆内切于点，记动圆圆心的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点的直线交于、两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，且 【分析】（1）分析可知动点的轨迹是、为焦点，以为长轴长的椭圆，求出、的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式以及两点间的距离求出的值，即可得出结论.【详解】（1）解：显然，圆的半径为，设圆的半径为，由题意可得，所以，，则动点的轨迹是、为焦点，以为长轴长的椭圆，设椭圆的方程为，，所以，，，故的方程为.（2）解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立方程组得，所以，..，，所以.所以；当直线l的斜率不存在时，直线的方程为，联立方程组，得、.此时，，所以.综上，存在实数使得恒成立.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．