2022-2023学年福建省永安市第三中学高中校高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省永安市第三中学高中校高二上学期10月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省永安市第三中学高中校高二上学期10月月考数学试题 一、单选题1．已知点，若向量，则点B的坐标是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标.【详解】设为空间坐标原点，.故选：B2．直线恒过定点（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由时，可得到定点坐标.【详解】当，即时，，直线恒过定点.故选：B.3．直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.【详解】整理圆的方程可得：，圆心，倾斜角为，其斜率，方程为：，即.故选：A.4．已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是A．外切 B．相离C．内切 D．相交【答案】A【解析】根据圆与圆的位置关系判断方法即可得出．【详解】因为圆与的圆心距为：，而圆与的半径之和为，所以圆与的位置关系是外切．故选：A．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系判断，属于基础题．5．如图所示，正方形与等腰所在的平面互相垂直，，，、分别是线段、的中点，则与所成的角的余弦值为（    ）．A．B．C．D．【答案】C【分析】先依题意建立空间直角坐标系，写出向量，，再计算夹角余弦值，其绝对值即是所求角的余弦值.【详解】根据题意，建立以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴，，，∴，∴直线与所成角的余弦值为.故选：C．6．已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线经过点，由反射的性质可知：，于是，所以反射光线所在的直线方程为：，故选：A7．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.设正方体的棱长为1，则有∴，∴设，∴，，由图知不是平角，∴为钝角等价于，∴，∴，解得∴的取值范围是故选：C.8．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 二、多选题9．关于直线，下列说法正确的有（    ）A．过点 B．斜率为C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1【答案】BC【分析】A. 当时，，所以该选项错误；B. 直线的斜率为，所以该选项正确；C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    D. 当时，，所以该选项错误.【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误；B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确；C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；    D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误.故选：BC10．下列说法正确的是（    ）A．设是两个空间向量，则一定共面B．设是三个空间向量，则一定不共面C．设是两个空间向量，则D．设是三个空间向量，则【答案】AC【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可．【详解】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确； 对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．故选：AC．11．若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】设圆心O到直线l的距离为d，根据题意分析可得，则，根据垂径定理和点到直线的距离公式计算求解．【详解】设圆心O到直线l的距离为d，∵，则以为邻边的平行四边为菱形，即由，即，则又由垂径定理可知，即解得则，解得．故选：CD．12．已知直线与圆交于，两点，则（    ）A．线段的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2C．线段的中点轨迹方程为  D．直线的倾斜角为【答案】AC【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，从而可得结论；对于D，当时，设直线的倾斜角为，则，即，而当时，直线的倾斜角，【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，所以，所以A正确；对于B，由于圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆上只有2个点到的距离为2，所以B错误；对于C，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以C正确；对于D，当时，则，此时直线为，则直线的倾斜角为，满足；当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，即，当时，直线的倾斜角，而当时，直线的倾斜角，所以D错误，故选：AC 三、填空题13．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______． 【答案】【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.【详解】所以，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.14．若直线与直线平行，那么实数m的值为______．【答案】0或【详解】因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等，或者斜率不存在，m＝0，或者－＝，∴m＝．15．过点且与圆相切的直线的方程是______．【答案】或【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可求得k值，综合即可得答案.【详解】当直线l的斜率不存在时，因为过点，所以直线，此时圆心到直线的距离为1=r，此时直线与圆相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以，即，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线l的方程为.综上：直线的方程为或故答案为：或16．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．【答案】##【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．【详解】解：由圆，即，可得圆心坐标为，半径为，因为钝角的面积为，可得，解得，因为，所以，可得，设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，根据点到直线的距离公式，解得．故答案为：． 四、解答题17．已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．【答案】或【详解】因为点A（-3，-1），B（1，5），所以线段AB的中点坐标为(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，直线过，则方程为.（2）当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，设直线的方程为可得解得所以所求直线方程为．综上所述，可知直线的方程为或．【点睛】本题主要考查利用截距式求直线方程以及分类讨论思想．18．已知圆和圆．（1）当时，判断圆和圆的位置关系；（2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？【答案】（1）圆和圆相交；（2）不存在.【分析】（1）由题设写出圆、的圆心坐标及半径，并求出圆心距，根据与的大小关系，判断两圆的位置关系.（2）假设存在实数m，根据两圆内含关系列不等式并求解，即可知参数m的存在性.【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径，圆的方程为，则，半径，∴两圆的圆心距，又，∴，故圆和圆相交．（2）不存在．理由如下：圆的方程可化为， 则 ，半径．而，半径．假设存在实数m，使得圆和圆内含，则圆心距，即，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆和圆内含．19．在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．【答案】(1)(2) 【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解即可；（2）用向量法求解即可【详解】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，则，，，，，，∴，，，，，， 取，，，则点B到直线AC1的距离为；（2）∵，∴，而平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，∴，∴，取，则，，∴，又，∴点到平面的距离为.【点睛】20．已知点P(-1，4)，Q(3，2).（1）求以PQ为直径的圆N的标准方程；（2）过点M(0，2)作直线l与（1）中的圆N相交于A，B两点，若，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）圆心N为线段PQ的中点，求出圆N的半径即可写出圆的标准方程；（2）当直线斜率不存在时求出，符合条件；当直线斜率存在时设直线方程为，利用勾股定理求出圆心到直线的距离d，再利用点到直线的距离公式即可求得斜率k，从而写出直线方程.【详解】（1）方法1：以PQ为直径的圆方程为，化解得：，则圆N的标准方程为：.方法2：圆心N的坐标(1，3)，直径，则圆N的标准方程为：.（2）①当直线斜率不存在时，方程为，解得，，符合条件；②当斜率存在时，设直线方程为，设圆心到直线距离为d，由，则，得，又，解得，此时直线方程为.所以直线方程为或.21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，，，．(1)求证：；(2)求直线PB与平面MQB所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据等腰三角形可得，再由面面垂直的性质得出线面垂直，即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角.【详解】（1）因为Q为AD的中点，，所以，又因为平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以．（2）由题可知QA、QB、QP两两互相垂直，以QA为x轴、QB为y轴、QP为z轴建立空间坐标系，如图，根据题意，则，，，，，由M是棱PC的中点可知，，设平面MQB的法向量为，，，则，即令，则，，故平面MQB的一个法向量为，所以，所以直线PB与平面MQB所成角的正弦值为．22．已知直线与圆交于两点．(1)求出直线恒过定点的坐标；(2)用点斜式写出直线方程，并求直线的斜率k的取值范围；(3)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)；；(3)为定值. 【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标.（2）由（1）结合直线的点斜式写出方程，再利用圆心到直线距离小于半径求解即可.（3）设出直线的方程，与圆方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式求解作答.【详解】（1）将直线方程整理为：，令，解得：，所以直线恒过定点.（2）直线斜率为，由（1）得，直线的点斜式方程为：，即，圆：的圆心，半径，因为直线与圆交于两点，则圆心到直线距离，即，解得：，所以直线斜率的取值范围为.（3）设，，当时，与圆仅有一个交点，不合题意，即有，则直线，令直线方程为，由得：，由（2）知：，，，因此，所以为定值.