2022-2023学年福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.

【详解】，，

因为与互相垂直，

所以，

所以，

所以.

故选：D.

2．已知数列的前项和为，首项，且满足，则的值为（    ）

A．4093 B．4094 C．4095 D．4096

【答案】A

【详解】由递推公式确定通项公式，再求即可.

【解答】，故，又，

所以是首项为，公比为的等比数列，所以，

则

故选：A

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入求值即可.

【详解】解：因为，

所以，所以，

解得；

故选：B

4．如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若过A，E，F三点的平面与交于点G，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以C为原点建立空间直角坐标系，可设，求出平面AEF的法向量，再根据求出，即可得出答案.

【详解】解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，

由题可设，

则，，，

设平面AEF的法向量，

则，可取，

由，得，

则，

．

故选：C.

5．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可.

【详解】设，，由的中点为，则，

由，两式相减得：=，

则==，

由直线的斜率，∴，则，

双曲线的离心率，

∴双曲线的离心率为，

故选：B．

6．设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．数列的前和为

【答案】C

【分析】根据题意求出通项公式即可进一步得解.

【详解】对于A，设等差数列 的公差为 , 前 项和为 ,

由 ,

可得 ,

解得 2 ,

则 ,

故选项A正确;

由得，

, 11,

，

故选项B正确；

=n=,

故选项C错误；

由 可得 ,

即数列 的前 项 和 为 .故选项D正确.

故选：C.

7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.

【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，

故选：B.

8．如图，已知直线与圆相离，点在直线上运动且位于第一象限，过作圆的两条切线，切点分别是，直线与轴､轴分别交于两点，且面积的最小值为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出点的坐标，求得直线的方程，从而求得直线的横纵截距，进而求得面积的表达式，结合基本不等式以及面积的最小值求得的值.

【详解】如图所示，设，，则，

直线与圆相离，则且，

，

以为圆心，半径为的圆的方程为，

整理得，

由两式相减得直线的方程为，

分别令和，则，

又，的面积，

当且仅当时取等号，则.

故选：D

二、多选题

9．已知圆，直线过点，且交圆于两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．点的轨迹是圆

B．的最小值为6

C．若圆上仅有三个点到直线的距离为5，则的方程是

D．使为整数的直线共有16条

【答案】ABD

【分析】根据直线与圆的关系，结合题目给的条件逐一判断选项对错即可.

【详解】因为直线恒过点，所以，点在以为直径的圆上，则点的轨迹是圆，故A正确；

易知圆心到直线的距离最大值，故的最小值为，最大值为，故B正确；

由题知圆，直线过点，圆上仅有三个点到直线的距离为5，

因为圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为2，

当斜率存在时，设直线为，即，

又因为圆心到直线的距离为，解得，

所以的方程是 ，

当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，满足题意，故C错误；

由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使为整数的直线有（条），故D正确.

故选：ABD.

10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由数列的递推公式可判断AB，由累加法可判断CD.

【详解】由知，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，

即，A项正确；

根据递推公式，

得，B正确；

，

，

，

，

所以，即，故C正确；

由递推式，得，，…，，

累加得，

所以，

所以，

即，D项错误；

故选：ABC.

11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的离心率是

B．线段长度的取值范围是

C．面积的最大值是

D．的周长不存在最大值

【答案】ACD

【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB长度的取值范围，判断B；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C；表示出的周长的表达式，结合t的取值范围可判断D.

【详解】由题意得半圆的方程为，

设椭圆的方程为，

所以 ，

所以椭圆的方程为．

A．椭圆的离心率是，故A正确；

B． 当时，；当时，，

所以线段AB长度的取值范围是，故B错误；

C．由题得面积，

设，

设，所以，

所以

，当且仅当时等号成立，故C正确；

D．的周长，

令，

易知函数在上单调递减，

所以当时，的周长最大，但是不能取零，

所以的周长没有最大值，故D正确．

故选：ACD.

12．在直四棱柱中中，底面为菱形，为中点，点满足.下列结论正确的是（    ）

A．若，则四面体的体积为定值

B．若平面，则的最小值为

C．若的外心为，则为定值2

D．若，则点的轨迹长度为

【答案】ABD

【分析】对于A，取的中点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断A，对于B，由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.

【详解】对于A，取的中点分别为，连接，则，，，

因为，，

所以，，

所以三点共线，所以点在，因为，，所以,平面，平面，所以∥平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确，

对于B，因为，因为平面，平面，所以∥平面，又平面，，平面，所以平面平面，取的中点，连接，则，，所以，所以四点共面，所以平面平面，平面平面,平面平面,所以，又，所以，所以点的轨迹为线段，翻折平面，使其与五边形

在同一平面，如图，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为，因为，所以，，所以，在中，，，所以，所以，所以，

在中，，，，

所以，所以，即的最小值为，

所以B正确，

对于C，若的外心为，过作于，因为，所以，所以C错误，

对于D，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，

又在中，，

所以，，

在中，，，，所以，则在以为圆心，2为半径的圆上运动，

在上取点，使得，则，所以点的轨迹为圆弧，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，

故选：ABD.

【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.

三、填空题

13．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则________.

【答案】1

【分析】由四边形为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：，，

因为四边形为平行四边形，

所以，

所以，，

则.

故答案为：1.

14．设函数的导函数为，若函数的图象的顶点的横坐标为，且，则的值为__________.

【答案】

【分析】求出导函数，由二次函数性质求得，再由求得，从而得．

【详解】由，得，则其对称轴为，因为函数的图象关于直线对称，所以，所以，则，又由，得，所以.

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的运算，掌握导数的运算法则是解题关键．

15．已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是__________.

【答案】

【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，，从而得到，再构造函数求其范围即可.

【详解】如图所示：

设，，因为点在第一象限，所以.

又因为均在以线段为直径的圆上，

所以四边形为矩形，即.

因为，所以，即.

因为，，

所以，即.

因为，

设，，即，.

因为，所以在区间单调递增.

所以，即.

当时，解得，即，解得；

当时，解得，即，即.

综上.

故答案为：

四、双空题

16．对于正整数n，设是关于x的方程：的实根，记，其中表示不超过x的最大整数，则______；若，为的前n项和，则______．

【答案】     1     506

【分析】当时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而可求得，令，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，即得的范围，分类讨论为奇数和偶数时的，从而可得出答案.

【详解】解：当时，

，即，

令，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上都是增函数，

又，，

所以函数在存在唯一零点，

即，则，

所以，

方程，

即为，

即为，

令，则，

则有，

令，

则函数在上递增，

因为，

，

所以，使得，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，

所以

.

故答案为：1；506.

【点睛】本题考查了方程的根与函数的零点的问题，考查了数列新定义及数列求和的问题，综合性很强，对逻辑推理能力和数据分析能力要求很高，考查了分类讨论思想，难度很大.

五、解答题

17．已知曲线和.

(1)若曲线､在处的切线互相垂直，求的值；

(2)若与曲线､在处都相切的直线的斜率大于3，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据切线垂直可得在处导数值的乘积为求解；

（2）利用导数计算切线斜率，再由斜率大于3求解即可.

【详解】（1）由可得，

由可得，

因为曲线､在处的切线互相垂直，

所以，解得.

（2）由题意，切线的斜率，

可得，且或，

所以，

令，则函数在和上是增函数，

所以或，

即或，解得或.

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点.

(1)若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；

(2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)或

(2)存在，两个

【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；

(2) 假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果.

【详解】（1）圆可化为，圆心为，

若的斜率不存在时，，此时符合要求.  

当的斜率存在时，设的斜率为，则令，

因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离

，                       

所以直线的方程为或.

（2）假设圆上存在点，设，则，

，  

即，即，             

，                 

与相交，则点有两个.

19．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上动点.

(1)若过C，D，E三点的平面与平面PAB的交线是，证明：

(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）先证得面，再根据线面平行的性质定理证；

（2）建立空间坐标系，设，根据二面角的余弦值是列出关于的方程求解（）.

【详解】（1）因为面，面，

所以面，

又面，面面＝，

所以.

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接交于，

则.

设，设，

，

则，则，

因为底面，底面，

所以，又且，

所以平面，可知是平面的一个法向量.

设为平面的法向量，则，即，

取，则，

，解得.

故线段上是存在点，当时二面角的余弦值是.

20．已知数列，满足，其中，.

(1)若，.

①求证：为等比数列；

②试求数列的前n项和.

(2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？

【答案】(1)①证明见解析；②

(2)

【分析】（1）①，利用累加法求解即可；

②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可；

（2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出，则得到答案.

【详解】（1）①证明：，当时累加得

，，又

所以为首项为2，公比为2的等比数列.

②由①得，令，的前项和为，

则，

，

得

（2）若，则，

所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，，

设数列的前n项和为，则.

所以，

，所以

所以.

21．已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，，且焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程；

(2)设为双曲线的左顶点，点为轴上一动点，过的直线与双曲线的右支交于两点，直线分别交直线于两点，若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意结合双曲线的定义可得，再根据余弦定理解得，再利用点到直线的距离结合运算求解即可；（2）因为，所以，则根据韦达定理运算求解，注意分类讨论斜率是否存在.

【详解】（1）由题意可得：，

所以，

在中，，

由余弦定理得，

即，整理得.

不妨取右焦点到渐近线的距离为，

所以，可得.

因为，所以，

故双曲线的方程为.

（2）∵，则，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，消去y得：，

∴，

则，解得，

则，

因为直线，令，得，即，

同理可得.

因为，

所以，

解得或；

当直线的斜率不存在时，不妨设，此时点，

因为，

所以，解得或；

综上所述：的取值范围为.

22．已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．

(1)用表示；

(2)若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．

(3)若，是数列的前n项和，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析，；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，进而，整理即可得出结果；

（2）由（1）可得，同理，则，结合对数的运算性质计算即可求解；

（3）由（2）可得，利用放缩法即可证明.

【详解】（1）由题意知，，所以曲线在点处的切线方程为

，即，

令，得，即，

显然，所以；

（2）由(1)知，，

同理，故，

有，即，

所以数列成等比数列.

故，即，

有，所以；

（3）由(2)知，，则，

所以，

当时，显然；

当时，，

所以，

综上，.